один опцион или некоторую опционную комбинацию, на какой эффект с точки

зрения доходности и риска своих вложений я могу рассчитывать?

Умея рассчитывать доходность и риск одного или группы опционов, можно

перейти к оценке того же для опционных портфелей.

Введем следующие обозначения, которые будем употреблять в дальнейшем:

Входные данные (дано):

T – расчетное время (срок жизни портфеля или время до исполнения

опционного контракта);

S0 – стартовая цена подлежащего опционам актива;

zc – цена приобретения опциона call;

zp – цена приобретения опциона put;

xc - цена исполнения опциона call;

xp - цена исполнения опциона put;

ST – финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная

величина);

rT – текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент

времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);

[pic]- среднеожидаемая доходность подлежащего актива;

(r – среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего

актива;

Выходные данные (найти):

IT – доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;

RT – текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент

времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);

[pic]- среднеожидаемая доходность опциона (комбинации);

(R – СКО доходности опциона (комбинации);

QT – риск опциона (комбинации).

Далее по тексту работы все введенные обозначения будут

комментироваться в ходе их использования.

Также мы дополнительно оговариваем следующее:

1. Мы не рассматриваем возможность дивидендных выплат (чтобы не усложнять

модель).

2. Здесь и далее мы будем моделировать опционы только американского типа,

т.е. такие, которые могут быть исполнены в любой момент времени на

протяжении всего срока действия опциона. Это необходимо, чтобы не

требовать синхронизации срока жизни портфеля на подлежащих опционам

активах и сроков соответствующих опционных контрактов.

Общепринятым модельным допущением к процессу ценового поведения акций

является то, что процесс изменения котировки является винеровским случайным

процессом, и формула Блэка-Шоулза тоже берет это предположение за исходное.

Существуют определенные ограничения на использование вероятностей в

экономической статистике. Но, поскольку этот инструмент учета

неопределенности является традиционным и общеупотребительным, я хочу

оформить свои результаты в вероятностной постановке, при простейших

модельных допущениях с использованием аппарата статистических вероятностей.

А затем, по мере накопления опыта моделирования, мы будем усложнять

модельные допущения и одновременно переходить от статистических

вероятностей к вероятностным распределениям с нечеткими параметрами,

используя при этом результаты теории нечетких множеств. Задача эта в целом

выходит за рамки данной монографии, но заложить основы этой теории мы

сможем уже здесь.

Посмотрим на винеровский ценовой процесс c постоянными параметрами (

(коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и (

(коэффикциент диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего

значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского

процесса:

[pic] (3.48)

где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение,

случайное блуждание) с коэффициентом сноса, равным нулю и коэффициентом

диффузии, равным единице.

Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно S0, то

мы можем, исходя из (2.1), построить вероятностное распределение цены ST в

момент T. Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как

процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со

следующими параметрами:

- среднее значение:

[pic]; (3.49)

- среднеквадратичное отклонение (СКО) величины ln ST/S0:

[pic] (3.50)

В принципе, для моих последующих построений вид вероятностного

распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для

определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность

обозначим как

[pic] (3.51)

Примерный вид плотности нормального распределения вида (3.51)

представлен на рис. 3.2.2.

[pic]

Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности нормального распределения

Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем

переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов

и их комбинаций.

Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как

разницу между финальной ценой подлежащего актива ST и ценой исполнения

опциона xc. Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона zc, то

владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.

Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной

финальной цены подлежащего актива соотношением 3.49.

[pic] (3.52)

В правой части (3.52) все параметры являются известными и постоянными

величинами, за исключением ST, которая является случайной величиной с

плотностью распределения (3.51).

А текущую доходность по опциону call мы определим формулой

[pic] (3.53)

Представление (3.49), когда стартовая и финальная цены актива связаны

экспоненциальным множителем, является неудобным для моделирования.

Аналогичные неудобства вызывает представление доходности на основе

степенной зависимости. Именно поэтому мы оперируем категорией текущей

доходности как линейной функции дохода и финальной цены. Предполагая

нормальность распределения финальной цены актива (что соответствует

винеровскому описанию ценового процесса), мы автоматически таким образом

приходим к нормальному распределению текущей доходности. Построенная

линейная связь текущей доходности и цены является полезной особенностью,

которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного

моделирования.

Определим плотность (I(y) распределения дохода IT по опциону как

функции случайной величины ST. Воспользуемся известной формулой. Если

исходная случайная величина X имеет плотность распределения (X(x), а

случайная величина Y связана с X функционально как Y=Y(X), и при этом

существует обратная функция X=X(Y), тогда плотность распределения случайной

величины Y имеет вид

[pic]. (3.54)

В нашем случае, исходя из (3.52),

[pic] (3.55)

dST/dIT = 1, IT > -zc. (3.56)

Мы видим, что в точке IT = -zc плотность (I(y) приобретает вид

дельта-функции. Необходимо определить множитель при дельта-функции. Это

можно сделать косвенным образом. На участке, где функция ST(IT)

дифференцируема, в силу (3.54)-( 3.58) выполняется

[pic] IT > -zc. (3.57)

В силу нормирующего условия справедливо

[pic] (3.58)

откуда, в силу (2.10), искомый множитель K есть

[pic] (3.59)

Множитель K есть, таким образом, не что иное как вероятность события

ST < xc. При наступлении такого события говорят, что опцион call оказался

не в деньгах. Это событие – условие отказа от исполнения call-опциона и

прямые убытки в форме затрат на приобретение опциона.

Наконец, итоговое выражение для (I(y)

[pic] (3.60)

где

[pic] (3.61)

На рис. 3.2.2 представлен примерный вид плотности вида (3.60).

[pic]

Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности усеченного распределения

Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному

нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное

распределение, а распределение, функция которого претерпевает разрыв

первого рода в точке с бесконечной плотностью.

Теперь нетрудно перейти к распределению доходности (R(v), пользуясь

(3.53), (3.54) и (3.60):

[pic] (3.62)

Плотности вида (3.60) и (3.62) – бимодальные функции.

Теперь оценим риск инвестиций в call опцион. Мне думается, что

правильное понимание риска инвестиций сопряжено с категорией неприемлемой

доходности, когда она по результатам финальной оценки оказывается ниже

предельного значения, например, уровня инфляции в 4% годовых. Это значение

близко к текущей доходности государственных облигаций, и тогда ясно, что

обладая сопоставимой с облигациями доходностью, опционный инструмент

значительно опережает последние по уровню риска прямых убытков

(отрицательной доходности).

Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как

вероятность неприемлемой доходности по формуле

[pic] (3.63)

где (R(v) определяется по (3.62).

Среднеожидаемая доходность вложений в опцион определяется стандартно,

как первый начальный момент распределения:

[pic] (3.64)

Среднеквадратическое отклонение доходности call опциона от среднего

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16