вид:
[pic] (3.28)
где [pic] - (3.29)
номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый момент t,
[pic] (3.30)
[pic], (3.31)
моменты (i определяются соотношением (3.27), а внутренняя норма
доходности долгового инструмента r отыскивается как корень трансцендентного
уравнения вида
С(TI) = N0. (3.32)
Если купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному
выше случаю дисконтной бумаги.
Анализ соотношений (3.30) и (3.31) показывает, что шум цены, тренд
которой имеет вид (3.28), является нелинейно затухающей кусочной функцией
на каждом интервале накопления купонного дохода, причем шум получает как бы
две составляющих: глобальную – для всего периода обращения бумаги, и
локальную – на соответствующем моменту t интервале накопления купонного
дохода.
Исследуем характер шума цены процентной бумаги:
[pic] (3.33)
где C(t) – тренд цены - определяется по (3.28).
Руководствуясь соображениями, изложенными в предыдущем примере
дисконтных бумаг, будем отыскивать СКО шума цены в виде:
[pic] [pic] (3.34)
где [pic]
(3.35)
а i определяется по (3.29). Соотношение (3.35) является частной
производной справедливой цены (3.28) по показателю внутренней нормы
доходности бумаги с точностью до постоянного множителя.
Аналогично предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный
делитель для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к
стационарному будет иметь вид:
[pic], (3.36)
где [pic]определяется по (3.35). При уменьшении величины купона до
нуля соотношение (3.34) переходит в (3.14), что косвенно подтверждает
правоту наших выкладок.
На рис. 3.1.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а
на рис. 3.1.4 – примерный вид СКО такой бумаги.
Рис. 3.1.3. Функция справедливой цены процентной бумаги
Рис. 3.1.4. Функция СКО процентной бумаги
Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (3.17) –
(3.18) получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:
[pic] (3.37)
где m – число оплаченных купонов процентной бумаги за период T.
Вывод о том, что случайный процесс [pic]имеет в своем сечении
нормальную величину, сохраняется без изменений. Параметры этой случайной
величины:
[pic] (3.38)
[pic] (3.39)
Рассмотрим расчетный пример.
Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент
времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 3
года c дисконтом 10%, то есть по эмиссионной цене N0 = 900$. По бумаге
объявлено три годовых купона по ставке 20% годовых, то есть размером (N =
200$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1 сразу
после первого купонного платежа. В этот момент текущая цена бумаги на рынке
составляет H(1) = 940$. Для проведения статистического анализа доступна
история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется
идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшихся
двух лет владения ( T ( [0, 2] ) как случайный процесс и определить
параметры этого процесса.
Определим внутреннюю норму доходности нашей процентной бумаги,
итеративно решив уравнение (3.32). Тогда, согласно (3.28), это уравнение
приобретает вид:
(1000 + 200) * exp(-r) + 200*(exp(-r/3) + exp(-2r/3)) = 900,
(3.40)
откуда методом итераций получаем r = 67.2% годовых.
Выражение для справедливой цены приобретает вид:
[pic] (3.41)
Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума
цены, согласно (3.34) – (3.35), имеет вид
[pic] (3.42)
где
[pic](3.43)
а (0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума
цены вида (3.36).
Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее
доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18),
(3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 2, C(3) = 1200$, ((1+2)
= 0, ((1+2) = 0, и R(1,2) = (1200-940)/(940*2) = 13.83% годовых –
неслучайная величина.
Оценим процесс количественно через Т = 1 год владения бумагой
непосредственно перед получением дохода по второму купону, задавшись
параметром СКО шума (0 = 20$. Тогда
C(2-0) = 1200*exp(-(3-2)*0.672/3) + 200 = 1159.2$, (3.44)
[pic], (3.45)
[pic] (3.46)
[pic] (3.47)
Обладая квазистатистикой ценового поведения облигации, мы можем
оценить СКО шума цены (3.14) и (3.34) как треугольную нечеткую функцию
фактора времени. И все соответствующие вероятностные распределения
приобретают вид нечетких функций, а случайные процессы приобретают
постоянные нечеткие параметры.
Мы получили вероятностную интерпретацию цены долгового
инструмента. Зная матожидание и дисперсию цены, мы можем оценивать то же
для текущей доходности. И тогда мы можем решать задачу Марковица, отыскивая
максимум доходности портфеля при фиксированном СКО портфеля.
Если квазистатистики по отдельной долговой бумаге нет, можно
воспользоваться статистикой квазистатистикой ведущих индексов по долговым
обязательствам (например, индексами доходности по 10-летним или 30-летним
государственным долговым обязательствам, анализируемыми в пределах
последнего года). Параметры случайных процессов для этих индексов могут
быть взяты за основу при моделировании ценовых случайных процессов для
индивидуальных долговых обязательств, при этом мера уверенности эксперта в
оценке параметров будет находиться в обратной зависимости от ширины
расчетного коридора, формируемого соответствующими нечеткими числами и
вероятностными распределениями с нечеткими параметрами.
3.2. Хеджирование как метод страхования рисков
Стремление финансиста избежать риска и обеспечить себе гарантированную
доходность вложенного капитала побуждает его к такой организации портфеля
активов, при которой получается минимально возможный разброс эффективностей
относительно приемлемого для него значения. Эта проблема близка по
содержанию еще одной, практически важной, задаче составления такого
портфеля, доход от которого заведомо позволит обслужить все имеющиеся на
заданную дату обязательства (долги).
Одна из главных проблем финансовой математики и финансовой инженерии
состоит в том, чтобы выявить условия, при которых подобное снижение риска
осуществимо. И если это так, то определить начальный капитал, делающий
возможным подобное хеджирование.
Одним из основных факторов снижения риска выступает отрицательная
коррелированность эффективностей портфельных компонентов. В связи с этим
соответствующие стратегии хеджирования основываются на противопоставлении
опционов на акции и самих акций, а также облигаций различной срочности.
Известно, что активы с отрицательно коррелированными доходностями
снижают риск портфеля. Данное свойство применяют для получения защищенных
от риска финансовых вложений, сочетая те направления, у которых возможные
уклонения доходностей от их ожидаемых значений противоположны.
Этим, в том числе, объясняется становление на развитых финансовых
рынках биржевой торговли по заключению контрактов с опционами и фьючерсами
- одними из основных финансовых инструментов, относящихся к производным
ценным бумагам и обладающих хеджирующими достоинствами. О масштабах
торговли можно судить хотя бы потому, что, например, на Нью-Йоркской бирже
в дневном обороте заключаются 3,4 млн. опционных контрактов. Если учесть,
что каждый единичный контракт - это сделка на куплю или продажу 100 акций,
то, следовательно, ежедневно было задействовано порядка 340 млн. акций.
Высокий спрос на фьючерсы и опционы поддерживается, в отличие от
акций, благодаря заинтересованности инвесторов в снижении портфельного
риска и вопреки неблагоприятным значениям ожидаемой доходности (низкая) и
риска (высокий). Для удачливых инвесторов достигаемые здесь эффективности
могут быть намного выше, чем по акциям, что, впрочем, уравновешивается, в
силу контрактного характера этих бумаг, проигрышем "оппонентов".
Проиллюстрируем на примере акции и колл-опциона полярность изменения
доходностей финансового актива и заключенного на него срочного контракта.
Пусть для определенности это будет европейский тип опциона «при деньгах»
(контрактная цена равна текущему курсу), который дает право на дату покупки
акции по цене, равной текущей котировке S, и допустим, что за контрактный
срок Т дивиденды на акцию выплачиваться не будут.
При удорожании акции до уровня St > S держатель опциона воспользуется
своим правом и эмитент вынужден будет исполнить контракт по заниженной
цене. В результате его брутто-потери (без учета премии) составят величину
fт = ST - S, равную тому выигрышу, который он имеет как владелец акции
(происходит перекачка выигрыша по акции в карман держателя опциона). В
противоположной ситуации, если произойдет понижение цены (ST < S), он
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
