на 10,4 процентных пунктов, с 23,85 до 34,25%.

Таким образом, модель оценки вероятности дефолта может быть

инструментом оценки рыночной стоимости существующих долгов, а также

механизмом определения процентных ставок по кредитам с учетом риска

заемщика.

Для трейдеров наряду с доходностью к погашению данная модель может

служить удобным инструментом для сравнения привлекательности облигаций

различных эмитентов, позволяя численно определить уровень риска дефолта.

Для коммерческих банков применение данной методологии осложнено

российскими реалиями, например:

• дифференциацией отношений компаний с кредиторами: одним платят,

другим нет;

• отсутствием внутрироссийских рейтингов компаний и др.

Тем не менее внутри банков рейтинги заемщиков должны существовать,

поэтому некоторые элементы предложенного подхода могут быть использованы

как элементы в создании внутрибанковских методик оценки рисков.

Рассмотрим как производится оценка доходности и риска ценных бумаг с

фиксированным доходом, в частности векселей и облигаций.

Сейчас трудно найти работу, в которой бы проводился вероятностный

анализ доходности и риска долговых обязательств. Скорее всего, это связано

с тем, что доходность такого рода бумаг не лежит в произвольно широких

пределах, как это имеет место для акций и паев взаимных фондов на акциях.

Моделируя ценные бумаги с фиксированным доходом, мы знаем параметры выпуска

(дата выпуска, цена размещения, дата погашения, число купонов, их размер и

периодичность). Единственное, чего мы не знаем, - это то, как будет

изменяться котировка этих бумаг на рынке в зависимости от текущей стоимости

заемного капитала, которая косвенно может быть оценена уровнем федеральной

процентной ставки страны, где осуществляются заимствования.

Идея вероятностного анализа долговых обязательств, представленная

здесь, состоит в том, чтобы отслоить от истории сделок с долговыми

обязательствами неслучайную составляющую цены (тренд). Тогда оставшаяся

случайная составляющая (шум) цены может рассматриваться нами как случайный

процесс с непрерывным временем, в сечении которого лежит нормально

распределенная случайная величина с нулевым средним значением и со

среднеквадратичным отклонением (СКО), равным ((t), где t – время наблюдения

случайного процесса. Ожидаемый вид функции ((t) будет исследован нами

позже.

Получим аналитический вид трендов долговых обязательств и для начала

рассмотрим простейшие случаи таких выражений, которые имеют место для

дисконтных бескупонных облигаций и дисконтных векселей.

Пусть бумага данного вида эмитирована в момент времени TI по цене N0 <

N, где N – номинал ценной бумаги. Тогда разница N – N0 составляет дисконт

по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM,

когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.

Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу.

Определим ее справедливую рыночную цену С(t). Это выражение и является

трендом для случайного процесса цены бумаги.

Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год.

Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n

– го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале

(k+1) – го года обращения бумаги, имеет вид:

[pic] (3.6)

где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента,

определяемая по формуле:

[pic] (3.7)

Формула (3.6) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой

внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют

реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному

году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле,

предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом

обращения дисконтного инструмента.

Получим аналоги формул (3.6) и (3.7) для непрерывного времени,

предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени

с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом.

Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI, TM] на интервалы

числом n и длительностью

[pic] (3.8)

Обозначим t = TI + k * ( и применим к расчету рыночной цены бумаги

формулы (3.6) и (3.7). Это дает:

[pic], (3.9)

[pic] (3.10)

Предельный переход в (3.9) и (3.10) при ( ( 0 дает:

[pic] (3.11)

[pic] (3.12)

Рис. 3.1.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации

Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для

непрерывного времени. Качественный вид функции (3.10) представлен на рис.

3.1.1.

Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим

частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:

[pic] (3.13)

Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет

нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения

бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО)

шума как функцию вида:

[pic] (3.14)

Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 3.1.2.

С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем

случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум

процесса имеет вид

[pic] (3.15)

где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).

Рис. 3.1.2. Ожидаемый вид функции СКО

Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением

корректирующего делителя

[pic]. (3.16)

Тогда процесс (*(t) является стационарным, и в его сечении находится

случайная величина с матожиданием 0 и с СКО (0. И определение фактического

значения параметра (0 этого процесса может производиться стандартными

методами.

Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности

долгового инструмента, в процентах годовых:

[pic] (3.17)

где Т - период владения долговым инструментом.

Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не

рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот

момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t + T) и

является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с

матожиданием С(t + T) и СКО ( (t + T) (эти функции вычисляются по формулам

(3.11) и (3.14)).

Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет

параметры:

[pic] (3.18)

[pic] (3.19)

Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.

Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент

времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 2

года c дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N0 = 700$. Инвестор

намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1. В этот момент текущая

цена бумаги на рынке составляет H(1) = 820$. Для проведения

статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год

ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на

протяжении оставшегося года владения ( T ( [0, 1] ) как случайный процесс и

определить параметры этого процесса.

Согласно (3.11), (3.12), внутренняя норма доходности нашей облигации

составляет

r = ln(1000/700) = 35.67% годовых, (3.20)

а справедливая цена

С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2), t ( [0, 2]. (3.21)

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума

цены, согласно (3.14), имеет вид

[pic] (3.22)

где (0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума

цены вида (3.16).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее

доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18),

(3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, ((1+1)

= 0, ((1+1) = 0, и R(1,1) = (1000-820)/(820*1) = 21.95% годовых –

неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой,

задавшись параметром СКО шума (0 = 20$. Тогда

C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (3.23)

[pic] (3.24)

[pic] (3.25)

[pic] (3.26)

Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0,

причем эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено

соотношением объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки

заимствования, с учетом периодичности платежей). Обозначим размер купона

(N, а число равномерных купонных выплат длительностью (( за период

обращения обозначим за K, причем для общности установим, что платеж по

последнему купону совпадает с моментом погашения бумаги.

Тогда временная последовательность купонных платежей может быть

отображена вектором на оси времени с координатами

[pic] (3.27)

Формула для справедливой цены процентного долгового инструмента имеет

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16