Практика
Задача 1
Вас запросили на телевізійну гру Колесо фортуни. Колесо управляється електронним чином за допомогою двох кнопок, які повідомляють колесу сильне (В) або слабке (Н) обертання. Саме колесо розділене на рівні області - білу (Б) і червону (Ч). Вас повідомили, що в білій області колесо зупиняється з вірогідністю 0.3, а в червоній - 0.7. Платня, яку ви одержуєте за гру, рівна (у доларах) наступному:
Біла
Червона
Сильне (В)
800
200
Слабке (Н)
-250
1000
Вірогідність
0,3
0,7
Зобразіть відповідне дерево рішень.
Рішення.
Виходячи з таблиці, одержуємо очікуваний прибуток для кожної з двох альтернатив.
Якщо сильне обертання (В): 800×0,3+200×0,7=240+140=380грн.
Якщо слабке обертання (Н): (-250)×0,3+1000×0,7=(-75)+700=625грн.
Рішення, засноване на цих обчисленнях, - краще зробити слабке обертання.
Завдання 2
Фермер Стефанко Олександр може вирощувати або кукурудзу, або соєві боби. Вірогідність того, що ціни на майбутній урожай цих культур підвищаться, залишаться на тому ж рівні або знизяться, рівна відповідно 0.25, 0.30 і 0.45. Якщо ціни зростуть, урожай кукурудзи дасть 30 000 гривень чистого доходу, а урожай соєвих бобів - 10000 гривень. Якщо ціни залишаться незмінними, Стефанко лише покриє витрати. Але якщо ціни стануть нижчими, урожай кукурудзи і соєвих бобів приведе до втрат в 35 000 і 5 000 гривень відповідно.
Яку культуру слід вирощувати Олександру?
Представимо завдання у вигляді таблиці прибуток, який може отримати фермер Стефанко.
Ціна виросте
Та ж сама
Ціна впаде
Кукурудза
30000
0
35000
Боби
10000
5000
0,25
0,45
Кукурудза: 30000×0,25+35000×0,45=7500-15750=(-8250)грн..
Боби: 10000×0,25+5000×0,45=2500-2250=-250грн.
Отже Олександру краще вирощувати боби.
Завдання 3
Поверніться до проблеми вибору рішення фермером Стефанко з впр. 2. Фермер має додатковий вибір, зв'язаний з використанням землі як пасовища, що гарантований принесе йому прибуток в 7500 доларів. Фермер одержав також додаткову інформацію від брокера, що стосується ступеня стабільності майбутніх цін на продукцію. Оцінки брокера "сприятливий - несприятливий" потім виражаються кількісно у вигляді наступної умовної вірогідності.
В даному випадку v1 і v2- оцінки брокера "сприятливий" і "несприятливий", а m1 m2 і m3 представляють зміну в майбутніх цінах: відповідно "пониження", "такі ж", "підвищення".
Знайдіть оптимальне рішення задачі.
Рішення
Необхідно обчислити апостеріорну вірогідність Pmi. Ця апостеріорна вірогідність обчислюється з урахуванням додаткової інформації, що міститься в рекомендаціях друга, за допомогою наступних дій.
Крок 1. Умовну вірогідність Pmi для даної задачі запишемо таким чином.
v1
v2
m1
0,15
0,85
m2
0,5
m3
Pvj=
Крок 2. Обчислюємо вірогідність сумісної появи подій.
При заданій апріорній вірогідності P{m1}=0.25, Р{m2}=0,3 і Р{m3}=0.45 вірогідності сумісної появи подій визначаються множенням першого і другого рядків таблиці, одержаної на кроці 1, на 0.6 і 0.4 відповідно. В результаті маємо наступне.
0,0375
0,2125
0,3825
0,0675
Сума всіх елементів цієї таблиці рівна 1.
Крок 3. Обчислюємо абсолютну вірогідність.
Ця вірогідність виходить шляхом підсумовування елементів відповідних стовпців таблиці, одержаної на кроці 2. У результаті маємо наступне.
P{v1}
P{v2}
0,57
0,43
Крок 4. Визначаємо шукану апостеріорну вірогідність по формулі
Ця вірогідність обчислюється в результаті розподілу кожного стовпця таблиці, одержаної на кроці 2, на елемент відповідного стовпця таблиці, обчисленої на кроці 3, що приводить до наступних результатів (закругленим до трьох десяткових знаків).
0,0657
0,4942
0,2631
0,3488
0,6711
0,1569
Тепер можна оцінити альтернативні рішення, засновані на очікуваних платежах.
Дохід від кукурудзи = 30000×0,671-35000×0,0657=20130-2302,63грн.
Дохід від бобів = 10000×0,1569-5000×0,4942=1569,7-2470,93=901,23грн.
Дохід від пасовища = 7500грн.
Отже Олександру краще вирощувати кукурудзу.
Завдання 4
Електроенергетична компанія використовує парк з 20 вантажних автомобілів для обслуговування електричної мережі. Компанія планує періодичний профілактичний ремонт автомобілів. Вірогідність pt поломки автомобіля після закінчення t місяців після профілактичного ремонту оцінюється таким чином.
Таблиця 2.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
≥10
pt
0.05
0.07
0.1
0.13
0.18
0.23
0.33
0.43
0.5
0.55
Випадкова поломка одного вантажного автомобіля обходиться компанії в 200 доларів, а планований профілактичний ремонт в 50 доларів. Необхідно визначити оптимальний період (у місяцях) між планованими профілактичними ремонтами. Позначимо через N шукане число місяців між профілактичними ремонтами. Впродовж N-місячного циклу можуть мати місце два види витрат:
1) витрати, пов'язані з усуненням поломки автомобіля впродовж перших N-1 місяців;
2) витрати на профілактичний ремонт в кінці циклу.
Витрати другого вигляду (профілактичний ремонт) складають $50х20 автомобілів, тобто 1000 доларів на цикл. Витрати, пов'язані з усуненням поломок автомобілів, повинні ґрунтуватися на середній кількості автомобілів, що вийшли з ладу впродовж перших N-1 місяців циклу. Тут ми маємо два стани після закінчення місяця t: поломка автомобіля з вірогідністю pt і її відсутність з вірогідністю 1-pt. Отже, очікуване число поломок після закінчення місяця t рівне кількості автомашин в парку, помноженому на pt, тобто 20pt. Використовуючи цей результат, підрахуємо очікуване загальне число автомобілів, що зламалися, впродовж перших N-1 місяців циклу у вигляді суми відповідних величин для кожного місяця окремо, тобто
Позначивши через ЄС(N) загальну очікувану вартість для циклу між профілактичними ремонтами, маємо наступне.
.
Задача вибору рішення компанією зводиться таким чином до визначення довжини циклу N, яка мінімізує загальні очікувані витрати за один місяць ECPM(N).
Мінімізацію функції ECPM(N) не можна виконати в явній формі. Натомість використовується наступна таблична форма знаходження рішення.
Таблиця 3.
N
pi
ECPM(N)
Оптимальне N →
600
0.12
493.33
0.22
470
0.35
480
0.53
520
Обчислення показують, що ECPM(N) досягає свого мінімуму при N-4. Отже, профілактичний ремонт автомобілів потрібно виконувати раз у чотири місяця.
Використана література
1.Уткин Е.А., “Ризик-менеджмент”, Москва, 1998.
2.Таха Х.А., “Введение в исследование операций”, Університет Арканзаса, Фейетвілл, 2001.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
