Випадкова поломка одного вантажного автомобіля обходиться компанії в 200 доларів, а планований профілактичний ремонт в 50 доларів. Необхідно визначити оптимальний період (у місяцях) між планованими профілактичними ремонтами. Позначимо через N шукане число місяців між профілактичними ремонтами. Впродовж N-місячного циклу можуть мати місце два види витрат:

1) витрати, пов'язані з усуненням поломки автомобіля впродовж перших N-1 місяців;

2) витрати на профілактичний ремонт в кінці циклу.

Витрати другого вигляду (профілактичний ремонт) складають $50х20 автомобілів, тобто 1000 доларів на цикл. Витрати, пов'язані з усуненням поломок автомобілів, повинні ґрунтуватися на середній кількості автомобілів, що вийшли з ладу впродовж перших N-1 місяців циклу. Тут ми маємо два стани після закінчення місяця t: поломка автомобіля з вірогідністю pt і її відсутність з вірогідністю 1-pt. Отже, очікуване число поломок після закінчення місяця t рівне кількості автомашин в парку, помноженому на pt, тобто 20pt. Використовуючи цей результат, підрахуємо очікуване загальне число автомобілів, що зламалися, впродовж перших N-1 місяців циклу у вигляді суми відповідних величин для кожного місяця окремо, тобто

Позначивши через ЄС(N) загальну очікувану вартість для циклу між профілактичними ремонтами,

маємо наступне.

.

Задача вибору рішення компанією зводиться таким чином до визначення довжини циклу N, яка мінімізує загальні очікувані витрати за один місяць ECPM(N), тобто величину

.

Мінімізацію функції ECPM(N) не можна виконати в явній формі. Натомість використовується наступна таблична форма знаходження рішення.

Таблиця 3.

Обчислення показують, що ECPM(N) досягає свого мінімуму при N-4. Отже, профілактичний ремонт автомобілів потрібно виконувати кожного четвертого місяця.

2.3 Інші критерії очікуваного значення

У цьому розділі розглядаються три модифікації критерію очікуваного значення. Перша полягає у визначенні апостеріорної вірогідності на основі експерименту над досліджуваною системою, друга - в корисності реальної вартості грошей, а третя модифікує критерій очікуваного значення таким чином, що він може бути використаний для ухвалення рішень при короткостроковому плануванні.

Апостеріорна вірогідність Байеса

Розподіли вірогідності, які використовуються при формулюванні критерію очікуваного значення, виходять, як правило, з накопиченої раніше інформації. В деяких випадках виявляється можливим модифікувати цю вірогідність за допомогою поточної і/або одержаної раніше інформації, яка звичайно ґрунтується на дослідженні вибіркових (або експериментальних) даних. Одержувану при цьому вірогідність називають апостеріорними (або Байесовськими), на відміну від апріорних, одержаних з початкової інформації. Наступний приклад показує, як розглянутий в розділі 2.1 критерій очікуваного значення можна модифікувати так, щоб скористатися новою інформацією, що міститься в апостеріорній вірогідності.

Приклад 3.

У прикладі 1 апріорна вірогідність 0.6 і 0.4 підвищення і пониження котирувань акцій на біржі була визначена з наявних публікацій фінансового характеру. Припустимо, замість того щоб повністю покладатися на ці публікації, ви вирішили провести особисте дослідження шляхом консультацій з другом, який добре розбирається в питаннях, що стосуються фондової біржі. Друг виказує загальну думку "за" або "проти" інвестицій. Ця думка надалі визначається кількісно таким чином. При підвищенні котирувань його думка з 90%-ний вірогідністю буде "за", при зниженні котирувань вірогідність його думки "за" зменшиться до 50%. Яким чином можна отримати користь з цієї додаткової інформації?

Думка друга фактично представляє умовну вірогідність "за-проти" при заданих станах природи у вигляді підвищення і пониження котирувань. Введемо наступні позначення:

v1 - думка «за»,

v2 - думка «проти»,

m1 - підвищення котирувань,

m2 - пониження котирувань.

Думку друга можна записати у вигляді співвідношень вірогідності таким чином.

За допомогою цієї додаткової інформації задачу вибору рішення можна сформулювати таким чином.

1. Якщо думка друга "за", акції якої компанії слід купувати - А або б?

2. Якщо думка друга "проти", то, знову-таки, - акції якої компанії слід купувати - А або В?

Таблиця 4.

Для оцінки різних альтернатив, показаних в таблиці 4, необхідно обчислити апостеріорну вірогідність Pvj. Ця апостеріорна вірогідність обчислюється з урахуванням додаткової інформації, що міститься в рекомендаціях друга, за допомогою наступних дій.

Крок 1. Умовну вірогідність Pvj для даної задачі запишемо таким чином.

Pvj=

Крок 2. Обчислюємо вірогідність сумісної появи подій

 для всіх i та j.

При заданій апріорній вірогідності P{m1}=0.6 і Р{m2}=0.4 вірогідності сумісної появи подій визначаються множенням першого і другого рядків таблиці, одержаної на кроці 1, на 0.6 і 0.4 відповідно. В результаті маємо наступне.

Pmi=

Сума всіх елементів цієї таблиці рівна 1.

Крок 3. Обчислюємо абсолютну вірогідність.

 для всіх j.

Ця вірогідність виходить шляхом підсумовування елементів відповідних стовпців таблиці, одержаної на кроці 2. У результаті маємо наступне.

Крок 4. Визначаємо шукану апостеріорну вірогідність по формулі

Ця вірогідність обчислюється в результаті розподілу кожного стовпця таблиці, одержаної на кроці 2, на елемент відповідного стовпця таблиці, обчисленої на кроці 3, що приводить до наступних результатів (закругленим до трьох десяткових знаків).

Pmi=

Це та вірогідність, яка показана в таблиці 4. Вони відрізняються від початкової апріорної вірогідності

P{m1}=0.6 і P{m2}=0.4.

Тепер можна оцінити альтернативні рішення, засновані на очікуваних платежах.

Думка "за"

Дохід від акцій компанії А = 5000х0.73+(-2000) х0.270=$3110.

Дохід від акцій компанії В = 1500х0.73+500х0.270=$1230.

Рішення. Інвестувати в акції компанії А.

Думка "проти"

Дохід від акцій компанії А = 5000х0.231+(-2000) х0.769=-$383.

Дохід від акцій компанії В = 1500х0.231+500х0.769=$731.

Рішення. Інвестувати в акції компанії В.

Функції корисності.

У попередніх прикладах критерій очікуваного значення застосовувався лише в тих ситуаціях, де платежі виражалися у вигляді реальних грошей. Є численні випадки, коли при аналізі слід використовувати швидше корисність, ніж реальну величину платежів. Для демонстрації цього припустимо, що є шанс 50 на 50, що інвестиція в 20 000 доларів або принесе прибуток в 40 000 доларів, або буде повністю втрачена. Відповідний очікуваний прибуток рівний 40000 х 0.5 - 20000 х 0.5 = 10000 доларів. Хоча тут очікується прибуток у вигляді чистого доходу, різні люди можуть по-різному інтерпретувати одержаний результат. Інвестор, який йде на ризик, може зробити інвестицію, щоб з вірогідністю 50% одержати прибуток в 40 000 доларів. Навпаки, обережний інвестор може не висловити бажання ризикувати втратою 20 000 доларів. З цієї точки зору очевидно, що різні індивідууми проявляють різне відношення до ризику, тобто вони проявляють різну корисність по відношенню до ризику.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9