Да, многие фракталы нам знакомы, но до самого последнего времени в нашем
научном представлении о мире им не находилось места. Это представление
восходит еще к Галилео Галилею, чье мастерство владения абстракцией,
вступающей в противоречие с интуицией, дает пример современного научного
рассуждения. Его кредо, сформулированное им самим в 1623 году, гласит:
Вся наука записана а этой великой книге - я имею в виду Вселенную, -
которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись
понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке
математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие
геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного
ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме. Понадобилось почти
350 лет, чтобы выйти за рамки галилеевского представления - до тех пор,
пока Бенуа Мандельброт не разработал понятие фрактала. Бросая взгляд в
прошлое, он размышлял в 1984 году:
Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин
заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или
берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега -
это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не
распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более
высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных
масштабов длин в структурах всегда бесконечно.
Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие
структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким
образом, отражает иерархический принцип организации. В основе этого
понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные
объекты самоподобны, т. е. их вид не претерпевает существенных изменений
при разглядывании их через микроскоп с любым увеличением. Хотя эта
идеализация и может оказаться слишком большим упрощением
действительности, она на порядок увеличивает глубину нашего
математического описания природы. Исследования Мандельброта получили
широкую известность после открытия им в 1980 году множества, носящего
теперь его имя. Он обнаружил принцип, с помощью которого несколько
неожиданным путем образуется целый мир самоподобных структур.
Эта причудливая форма (см. рис.1) может оказаться одним из ключевых
элементов некоторой новой “натуральной” математики, так же, как прямая
линия является одним из основных элементов евклидовой геометрии.
Возможно, наиболее убедительный аргумент в пользу изучения фракталов
- это их бросающаяся в глаза красота.
Глава 2
МЫШЛЕНИЕ В ОБРАЗАХ
Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и
математических задачах. Все они имеют одно обшее - это конкуренцию
нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между
территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаше имеет
место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже
за самые малые участки.
Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы
существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного
состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей,
которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере
замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой
возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и
насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит
всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек,
которые неподвластны его притяжению. Это, так сказать, “диссиденты”, не
желающие “принадлежать”.
Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма
упрошенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые
свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной
структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное
число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип
самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей
и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в
иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту
фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт. На самом деле
процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в
математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна
и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной
итерации является начальным значением для следующей:
C
[pic]
и
Единственное, что при этом требуется - нелинейная зависимость между
результатом и начальным значением, т. е. динамический закон [pic] должен
быть более сложным, чем простая пропорциональность [pic]. Схематическая
диаграмма указывает на то, что правило[pic] зависит от параметра c,
влияние которого будет обсуждаться ниже.
Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого
произвольного значения [pic], то его результатом будет
последовательность[pic], поведение которой по истечении достаточно
большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет
ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению Х,
стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений,
которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все
время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и
конкретным начальным значением, но тем не менее непредсказуема?
Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так,
описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое
ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готтфрид В. Лейбниц, основано на
принципе обратной связи. Динамический закон определяет положение и
скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий
момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона.
Несущественно, будет ли процесс дискретным, т. е. осуществляемым по шагам,
либо непрерывным. Физикам нравится мыслить в терминах
инфинитезимальных единиц времени: Natura non facit saltus (“Природа не
делает скачков”). Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать
изменения от года к году или от поколения к поколению. Очевидно,
допустимы обе точки зрения, а выбор подходящего описания определяется
обстоятельствами.
Глава 3
СЦЕНАРИЙ ПРОНИКНОВЕНИЯ В ХАОС
Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно
описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного
прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина
остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон
роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например,
при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность
каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на
ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.
Одним из первых обратил на это внимание П. Ф. Ферхюльст,
сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он
объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить
существование популяции только определенного максимального размера Х и что
коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются
к Х. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный
коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным,
что коренным образом изменило его динамическое поведение.
Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого
проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не
произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы
достичь оптимального значения Х, увеличиваясь когда она меньше его, и
уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%,
нас ожидают сюрпризы.
Существуют ли в природе такие большие коэффициенты прироста? Конечно,
человеческая популяция так быстро не растет, но для определенных видов
насекомых такой коэффициент не является необычным. Важно то, что в
последние 20 лет закон Ферхюльста нашел применение для значительно более
широкого круга явлений, чем представлял себе сам Ферхюльст.
Эдвард Н. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического
института, обнаружил в 1963 году, что именно этот закон описывает
некоторые свойства турбулентного потока, в частности когда коэффициент
велик. Затем теоретические исследования по лазерной физике,
гидродинамике и кинотике химических реакций продемонстрировали
принципиальный характер этого закона, и предсказанные им сценарии были
обнаружены в экспериментах.
Но как же ведет себя процесс Ферхюльста, когда коэффициент
становится большим? Подробный анализ очень сложен.
Упомянем только наиболее важные результаты. Когда параметры роста
превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X.
Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
