свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-

то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных

случаев точно также. “

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и

милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий. Так,

математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность

мира, то есть радикально изменилось само понимание природы математических

объектов. Кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую

религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец,

пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее

абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения

математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие

глобальные расхождения в понимании природы математических объектов у

школ, существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою

мудрость, по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока?

Впрочем, Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы,

так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки

умственной деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако

математическая деятельность этих школ носила существенно различный

характер.

Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины

появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой

математики: “Так называемые пифагорейцы, занявшись математическими

науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать

их началами всех вещей.” Подобна точка зрения не лишена основания хотя бы

в силу применимости математических положений для выражения отношений между

различными явлениями. На этом основании можно, неправомерно расширив

данный момент математического познания, прийти к утверждению о выразимости

всего сущего с помощью математических зависимостей, а если считать числовые

отношения универсальными, то “число есть сущность всех вещей”. Кроме того,

ко времени деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь

исторического развития; процесс формирования ее основных положений терялся

во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и

объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к

существующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.

В советской философской науке проблема появления пифагорейской

концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций

марксистско-ленинской философии. Так, О.И.Кедровский пишет:

“...Выработанная им (Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией

вполне определенных социальных слоев общества. Это были ...представители

аристократии, теснимые демосом... Для них характерно стремление уйти от

тягот земной жизни, обращение к религии и мистике”. Эта точка зрения, как

и первая, не лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то

посередине. Однако, на мой взгляд, крах пифагорейского учения следует

связывать в первую очередь не с вырождением аристократии как класса, а с

попыткой пифагорейцев извратить саму природу процесса математического

познания, лишив математику таких важных источников прогресса, как

приложения к производству, открытое обсуждение результатов исследований,

коллективное творчество, удержать прогресс математики в рамках

рафинированного учения для посвященных. Кстати, сами пифагорейцы

подорвали свой основополагающий принцип “число есть сущность всех вещей”,

открыв, что отношение диагонали и стороны квадрата не выражается

посредством целых чисел.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая

математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мировоззрения -

материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что

наряду с влиянием мировоззрения на развитие математического познания имеет

место и обратное воздействие.

Глава 4

ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из

древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и

разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы

считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в.

до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы

миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть только бытие,

небытия нет; 2)Существует не только бытие, но и небытие; 3)Бытие и

небытие тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку.

Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено

в себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость,

прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.

Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве

сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его

неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять.

Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства

против движения; например, “движения не существует на том основании, что

перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы

дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.”.

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения

“здравого смысла”, выводам, но их нельзя было просто отбросить как

несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли

математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные

части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструировать

исходные положения, которые он взял за основу своей концепции. Важно

отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке

фундаментальные философские представления существенно опирались на

математические принципы. Видное место среди них занимали следующие

аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но

протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных

величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее

заданной протяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с

фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по

философским воззрениям, существенно затронул систему математических

знаний. Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до

этого несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как

противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить

такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности,

соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание

математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким

образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.

Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль математики в

формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона

связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. На

этом основании советский историк математики Э. Кольман сделал

предположение, что “именно на математический почве суммирования таких

прогрессий и выросли логико-философские апории Зенона”. Однако такое

предположение, по-видимому, лишено достаточных оснований, так как оно

слишком жестко связывает учение Зенона с математикой при том, что имеющие

исторические данные не дают основания утверждать, что Зенон вообще был

математиком.

Огромное значение для последующего развития математики имело

повышение уровня абстракции математического познания, что произошло в

большой степени благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой

проявления этого процесса было возникновение косвенного доказательства

(“от противного”), характерной чертой которого является доказательство не

самого утверждения, а абсурдности обратного ему. Таким образом был сделан

шаг к становлению математики как дедуктивной науки, созданы некоторые

предпосылки для ее аксиоматического построения.

Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным

толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических

вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения

качественно новой формы обоснования математических знаний.

Глава 5

ДЕМОКРИТ

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в

сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования математики

был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались противоречия,

выявленные Зеноном ?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в

пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую

позицию занял софист Протагор. Он считал, что “мы не можем представить себе

ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины

геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке”. Таким

образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10