Рефераты. Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства






одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его

можно счесть, это величина, если его можно измерить”. Множеством при

этом называется то, “что в возможности (потенциально) делится на части не

непрерывные, величиною то, что делится на части непрерывные”. Прежде

чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие

бесконечного, так как “оно относится к категории количества” и проявляется

прежде всего в непрерывном. “Что бесконечное существует, уверенность в

этом возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно

бесконечно); из разделения величин..; далее, только таким образом не

иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда

берется возникающее.

Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так как

необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего -...на

том основании, что мышление не останавливается: и число кажется

бесконечным, и математические величины”. Существует ли бесконечное как

отдельная сущность или оно является акциденцией величины или множества?

Аристотель принимает второй вариант, так как “если бесконечное не есть ни

величина, ни множество, а само является сущностью..., то оно будет

неделимо, так как делимое будет или величиной, или множеством. Если же

оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца”.

Невозможность математического бесконечного как неделимого следует из того,

что математический объект - отвлечение от физического тела, а “актуально

неделимое бесконечное тело не существует”. Число “как что-то отдельное и в

то же время бесконечное” не существует, ведь “...если возможно

пересчитать счислимое, то будет возможность пройти до конца и

бесконечное”. Таким образом, бесконечность здесь в потенции существует,

актуально же - нет.

Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотель

определяет непрерывность и прерывность. Так, “непрерывное есть само по

себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его”.

Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется

соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц. Геометрическим

аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может

образовать линию, так как “точкам, из которых было бы составлено

непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга”.

Но непрерывными они не будут: “ведь края точек не образуют чего-нибудь

единого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части”. Точки не

могут и касаться друг друга, поскольку касаются “все предметы или как

целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое

не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не

образует непрерывного”.

Невозможность составления непрерывного из неделимых и небходимость его

деления на всегда делимые части, установленные для величины, Аристотель

распространяет на движение, пространство и время, обосновывая

(например, в “Физике”) правомерность этого шага. С другой стороны, он

приходит к выводу, что признание неделимых величин противоречит основным

свойствам движения. Выделение непрерывного и прерывного как разных родов

бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области,

для резкого отмежевания арифметики от геометрии.

“Началами... в каждом роде я называю то, относительно чего не может

быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и

из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять,

другое - следует доказать. Например, что такое единица или что такое

прямое или что такое треугольник (следует принять); что единица и величина

существует, также следует принять, другое - доказать”. В вопросе о

появлении у людей способности познания начал Аристотель не соглашается с

точкой зрения Платона о врожденности таких способностей, но и не

допускает возможности приобретения их; здесь он предлагает следующее

решение: “необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой,

которая превосходила бы эти способности в отношении точности”. Но такая

возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они

обладают прирожденной способностью разбираться, которая называется

чувственным восприятием. Формирование начал идет “от предшествующего и

более известного для нас”, то есть от того, что ближе к чувственному

восприятию к “предшествующему и более известному безусловно” (таким

является общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из

разных признаков.

Во-первых, он выделяет “начала, из которых (что-либо) доказывается, и

такие, о которых (доказывается)”. Первые “суть общие (всем начала)”,

вторые - “свойственные (лишь данной науке), например, число, величина”. В

системе начал общие занимают ведущее место, но их недостаточно, так как

“среди общих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать

все”. Этим и объясняется, что среди начал должны быть “одни свойственны

каждой науке в отдельности, другие - общие всем”. Во-вторых, начала делятся

на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование

объекта или наличие у него некоторых свойств. В-третьих, комплекс начал

доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные

определения.

Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом построения

доказывающей науки; именно начала характеризуют науку как данную,

выделяют ее из ряда других наук. “То, что доказывается”, можно

трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий

силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процессов строится здание

доказывающей науки в виде отдельно взятой теории. Из них же создается и

наука как система теорий. Однако не всякий набор доказательств образует

теорию. Для этого он должен удовлетворять определенным требованиям,

охватывающим как содержание доказываемых предложений, так и связи между

ними. В пределах же научной теории необходимо имеет место ряд

вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для

раскрытия предмета теории.

Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены

Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности

они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля

лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта

установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с платоновым идеализмом;

ведь “если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое,

то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?” - писал

он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом

его воззрения в большей степени соответствовали потребностям

математического познания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика

была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его

философской системы.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ.

БЕСКОНЕЧНАЯ ГАРМОНИЯ ПОДОБИЯ

Глава 1

БЕССИЛИЕ ПРЯМОЙ

В качестве введения ко второй части мне бы хотелось привести слова

Фриденсрайха Хундертвассера, одного из тех замечательных людей силами

которых современная наука становится все ближе к искусству, а искусство

получает возможность использовать весь арсенал средств, предоставляемых

сегодняшней наукой для выражения идей и художественных замыслов:

В 1953 году я понял, что прямая линия ведет человечество к упадку.

Тирания прямой стала абсолютной. Прямая линия - это нечто трусливое,

прочерченное по линейке, без эмоций и размышлений; это линия, не

существующая в природе. И на этом насквозь прогнившем фундаменте

построена наша обреченная цивилизация. Если даже и возникает где-то мысль,

что прямая линия напрямик ведет к гибели, ее курсу все равно продолжают

следовать дальше... Любой дизайн, основанный на прямой линии, будет

мертворожденным. Сегодня мы являемся свидетелями триумфа рационалистических

знаний и одновременно обнаруживаем, что оказались в пустоте. Эстетический

вакуум, пустыня однообразия, преступное бесплодие, утрата созидательных

возможностей.

Стандартизируется даже творчество. Мы стали бессильными. Мы больше не

способны творить. В этом наше невежество.

Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии

морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно

движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно

деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру,

приобретенную в процессе эволюции. Человеку, не связанному с наукой, может

показаться странным то, что такие привычные всем вещи с недавних пор

оказались в фокусе интенсивных научных исследований. Но привычность какого-

либо явления совсем не означает, что ученые могут правильно его объяснить.

Ребенку тоже привычны и его голубая колыбель, и голубое небо задолго до

того, как он осознает, что голубой цвет есть общее качество совсем разных

вещей. В его познавательном развитии наступит момент, когда он уже сможет

воспринять понятие цвета; он слышит, что небо является голубым и вдруг

“открывает”, что и некоторые другие вещи тоже являются голубыми.

Развитие нашего научного понимания мира происходит по такой же схеме.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.