Для прокладке на меркаторской карте дуги большого круга по промежуточным точкам существует ряд методов. Рассмотрим один из них, основанный на использовании таблиц помещенных в МТ-75.
Предположим что необходимо нанести на карту ортодромию, соединяющую точки А и В (рис.2.7.1). найдем вначале уравнение дуги большого круга, связывающее текущие координаты точки М(φ;λ) с параметрами λо и Ко.
Из прямоугольного сферического треугольника OFM имеем:
tg φ = sin(λ - λ0) ctg K0, (2.7.1)
где φ и λ – текущие координаты произвольной точки дуги большого круга, соединяющей пункты А и В; λ0 – долгота точки пересечения дуги большого круга с экватором; K0 – угол между меридианом и дугой большого круга в этой точке.
Задаваясь долготой по формуле 2.7.1 можно найти широту промежуточной точки или, задаваясь ее широтой рассчитать долготу.
Из формулы 2.7.1: sin(λ - λ0) = tg φ tg K0 (2.7.2)
По формулам 2.7.1 и 2.7.2 составлены таблицы в МТ, которые значительно упрощают расчеты. Чтобы воспользоваться таблицами, нужно предварительно найти параметры K0 и λ0. Из прямоугольных сферических треугольников OAR и OBT имеем:
tg φ1 = ctg K0 sin(λ1 - λ0) (2.7.3)
tg φ2 = ctg K0 sin(λ2 - λ0)
где φ1 и λ1 – известные координаты точки А; φ2 и λ2 – координаты точки В.
Для определения λ0 найдем из формулы 2.7.3 отношение разности широт к их сумме:
tg φ2 - tg φ1 sin(λ2 - λ0) - (λ1 - λ0) 2 cos((λ1 + λ2) / 2 - λ0) cos((λ2 - λ0) /2)
—————— = —————————— = ——————————— =
tg φ1 + tg φ2 sin(λ2 - λ0) + (λ1 - λ0) 2 sin(((λ1 + λ2) / 2 - λ0) sin ((λ2 - λ0) /2)
= ctg(((λ1 + λ2) / 2 - λ0) sin ((λ2 - λ0) /2).
Кроме того, для этого отношения можно получить и другое выражение:
tg φ2 - tg φ1 sin(φ2 - φ1)
————— = —————
tg φ1 + tg φ2 sin(φ2 + φ1)
приравнивая оба выражения получим формулу для расчета λ0
(2.7.4)
После определения по формуле 2.7.4 из любого соотношения 2.7.3 можно найти K0.
При расчете сумм и разностей широт и долгот, входящих в формулу 2.7.3, следует обратить внимание на наименования географических координат, учитывая их знаки. Можно все долготы считать по часовой стрелке, как остовые от 0 до 360°. Так как дуга большого круга пересекает экватор в двух точках, то формула 2.7.4 даст два значения λ0, отличающихся друг от друга на 180°.
Из практических соображений достаточно вычислить промежуточные точки через 10° долготы (широты). Курс в любой точке ортодромии можно получить по формуле, которую можно получить из прямоугольного сферического треугольникаOFM:
tg K = tg (λ - λ0) cosec φ (2.7.5)
Па практике, когда дуга большого круга по промежуточным точкам нанесена на карту и заменена отрезками локсодромии (хорд), курс на каждом отрезке снимают транспортиром.
Чтобы определить количество промежуточных точек, которые нужно наносить, и допустимую длину отрезков локсодромий, следует поступить следующим образом. По формулы приближенной для ортодромической поправки:
S - D
Δ% = ——— *100 = 0.0048 Ψ° (2.7.6)
D
По формуле 2.7.6 составлена таб.1, из которой по найденному значению ортодромической поправки можно найти приближенное значение Δ%.
Таб. 2.7.1
Ψ°
%
5°
0,1
30°
4,3
10°
0,5
40°
7,7
20°
1,9
50°
Как видно из таб.2.7.1, плавание по дуге большого круга дает заметное сокращение расстояния (0,5 и больше), только начиная со значения Ψ=10°.
Из приближенной формулы для ортодромической поправки, полагая Ψ=5°, найдем допустимую разность долгот между промежуточными точками
РД = 10° / sinφ. (2.7.7)
Следовательно, обычно принимаемый интервал РД(РШ) = 10° для вычисления промежуточных точек вполне достаточен. Изменение курсов в промежуточных точках при плавании по отрезкам локсодромий будет определено принятой разностью долгот.
K1 – K2 ≈ 2Ψ ≈ РД sin φср
Вычисляем:
По формуле 2.7.4 находим λ0 ,точки в которых дуга большого круга пересекает экватор.
tg(67.1° - λ0 ) = tg(-48.7°) sin(-65.9°) cosec(-1.9°)
λ0 = 155°17.8'
Следовательно, дуга большого круга пересекает экватор в двух точках:
λ0 = 155°17.8' и λ0 = 335°17.8'.
По формуле 2.7.3 находим K0, угол между меридианом и дугой большого круга в точке λ0:
tg K0 = sin(115,8° - 155,3°) сtg 32,1°
K0 = 45°27,7
Так как дуга большого круга в данной задаче по направлению близка к параллели, целесообразно задаться долготой промежуточных точек и находить их широту по формуле 2.7.1 и результаты сводим в таблицу 2.7.2
λi
φi
Порт Фримантл
115°
47'
-32°
-3
105°
-36°
-48,7
95°
-40°
-17,8
85°
-42°
-40,2
75°
-44°
-3,4
65°
-32,2
55°
-8,5
45°
-50,8
35°
-34,5
25°
-37°
-12,2
Порт Кейптаун
18°
26'
-33°
-56
Скорость судна при полной загрузке
Суточные эксплуатационные расходы
Суточный расход топлива
Стоимость 1т топлива
Длинна локсодромии, S
Длинна ортодромии, D
17 узлов
5020$
30 тонн
260$
4901,1миль
4685,8миль
Когда трасса предстоящего плавания включает в себя океанский переход, влияние погоды и состояние моря приобретают особо важное и нередко основное значение при выборе экономически выгодного пути судна. При осуществлении такого выбора возникает потребность удовлетворить самые разные запросы: переход должен быть безопасным, экономичным, протекать в желаемые сроки и при наиболее благоприятных внешних условиях. Наивыгоднейший путь судна из одной точки земной поверхности в другую совпадает с кратчайшим расстоянием между этими точками, то есть с дугой большого круга (ДБК). Целесообразность плавания по дуге большого круга (ортодромии) определяется разностью S—D, где S — длина локсодромии и D — длина ортодромии. Если эта разность значительная и выигрыш в продолжительности перехода составляет десятки часов, то плавание по ортодромии считается выгодным.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
