математикой можно рассматривать как аргумент в пользу их идентичности, или

тождества. И такое доказательство их идентичности вовсе не есть дело

деталей, как в этом пытается уверить нас Рассел, хотя, как показала

дальнейшая критика, не все эти детали являются убедительными и бесспорными.

«...Начиная с предпосылок,— пишет он,— которые всеми будут допускаться как

принадлежащие к логике, и придя посредством дедукции к результатам, которые

с очевидностью принадлежат к математике, мы находим, что там не имеется

пункта, где может быть проведена разграничительная линия, с логикой слева и

математикой справа».

Но как мы уже видели, такие аксиомы, как аксиома бесконечности или

аксиома свободного выбора, относятся скорее к теории множеств, т. е. к

математике, чем к логике. Даже само определение понятия числа в терминах

теории классов, которое играет такую важную роль в осуществлении программы

логицизма, является в сущности определением в рамках теории множеств,

поскольку термин класс всегда можно заменить термином множество. Наконец,

некоторые исходные понятия теории множеств неявно используются в самом

построении логических исчислений, которые применяются Фреге и Расселом при

дедукции теорем из аксиом.

Все это показывает, что в подлинном смысле слова речь может идти не о

строгой дедукции всей чистой математики из логики, а о тесной взаимосвязи

между ними в процессе математического познания и исследования оснований

обеих наук. Впрочем, это обстоятельство в ряде мест своей книги «Введение в

математическую философию» и в приведенных выше цитатах признает, кажется, и

сам Рассел.

С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и

математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к

технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к

выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно

покажем в последней главе, предметом изучения современной математики

являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той

особенностью, что в рамках математического исследования они могут

рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов,

которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур

являются количественные отношения и пространственные формы, которые

изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего

абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их

комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры

оказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами,

числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно

иной природы. С их помощью можно исследовать, например, логические

отношения между высказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода,

как это делается в математической логике.

При рассмотрении вопроса о соотношении логики и математики нередко

возникают недоразумения в силу неоднозначности употребления самого термина

«логика».

Во-первых, можно говорить о логике как науке, изучающей законы

правильного мышления. В этом смысле логика понимается как исследование

структур и форм мысли и поэтому справедливо называется формальной логикой.

Во-вторых, в рамках самой формальной логики можно выделить такую

важную и доминирующую ее отрасль, как теория дедуктивного вывода, и

соответственно говорить о дедуктивной логике.

В-третьих, нередко под логикой понимают применение математических

методов для построения формальной теории дедуктивного вывода. Для этого

обычно строятся различные формально-логические системы, или языки, с

помощью которых оказывается возможным точно выразить логические взаимосвязи

между высказываниями в процессе вывода. Поскольку при этом высказывания

рассматриваются как некоторые дискретные объекты, то в принципе вполне

допустимо интерпретировать отображающие их формальные системы с помощью

объектов нелогической природы. Хорошо известно, например, что исчисление

высказываний интерпретируется с помощью релейно-контактных схем и других

технических устройств. Этот пример показывает, что в данном случае речь

действительно идет о применении некоторых общих формальных методов к

логике. Поэтому совершенно справедливо такая отрасль исследований получила

название математической логики.

В-четвертых, в рамках не только общей, но и математической логики

можно выделить целый ряд разделов, теорий и формально-логических систем,

которые исследуют разные аспекты не только дедуктивной теории вывода, но и

тесно связанных с ней проблем, например определения терминов и понятий,

семантической теории значений и т. п. В этом смысле часто говорят,

например, о многозначной, модальной, вероятностной, эпистемической,

нормативной и других логиках. Подобного рода не-классические логики

анализируют такие типы логического вывода, в котором высказывания

характеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются

истина и ложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например

возможность и необходимость, степень подтверждения, или вероятность и

другие. В настоящее время исследования по неклассическим логикам получили

заметный размах в связи с потребностями не только специальных наук, но и

философии, в силу чего возникло даже особое направление под названием

философской логики.

Какую же логику имеют в виду Рассел и его последователи, когда говорят

о дедукции из нее чистой математики?

Как мы уже видели, для такой дедукции у Фреге используется формальная

система «Основных законов арифметики», а у Рассела и Уайтхеда —

логицистическая система «Principia Mathematica». Поэтому когда они говорят

о логике, то подразумевают под ней математическую логику, представленную в

виде формализованной логико-математической системы, т. е. речь в этом

случае идет о логике в четвертом значении термина «логика». При этом важно

обратить внимание на то, что в такой системе логические термины и принципы

строго не отделены от математических, а иногда отдельные принципы вроде

аксиомы бесконечности и свободного выбора без какой-либо аргументации

объявляются логическими, хотя большинство математиков относит их к теории

множеств, а следовательно, к математике.

Если бы логицисты под логикой понимали математическую логику в

собственном смысле этого слова, т. е, подразумевали под ней применение

математических методов к логике, что соответствует третьему значению

термина «логика» в вышеприведенной классификации, тогда было бы невозможно

вывести из нее чистую математику. К тому же при таком понимании следовало

скорее рассматривать саму логику или по крайней мере ее формально-

логические системы как часть математики, кав науки об абстрактных

структурах. Именно так подходят к решению этого вопроса формалисты и

интуиционисты.

Таким образом, несостоятельность программы логицизма, выдвинутой Г.

Фреге и Б. Расселом на ранней стадии эволюции этого направления,

подтверждается не только чисто научными, логико-математическими

аргументами, но более общими, философскими соображениями. Вот почему

логицизм в той форме, в какой он был сформулирован Б. Расселом и который

часто называют радикальным, в настоящее время утратил прежнюю популярность.

В 60-е годы известный американский логик и математик Алонзо Чёрч на

Стэнфордском конгрессе по логике, методологии и философии науки предложил

новый вариант логицизма, который можно назвать умеренным логицизмом".

Радикальный логицизм, по мнению Чёрча, характеризует отношение между

логикой и математикой, исходя из двух основных принципов:

(1) все математические понятия могут быть определены в терминах чисто

логических понятий или, как предпочитает говорить Чёрч, «математический

словарь есть

часть логического словаря»;

(2) все математические предложения (аксиомы, постулаты) могут быть

выведены из чисто логических законов посредством использования чисто

логических способов рассуждения.

Чёрч считает, что второй принцип радикального логицизма оказался

несостоятельным и поэтому математику нельзя рассматривать буквально как

часть логики. Что касается первого принципа, то он склоняется к мнению, что

утверждение о том, что математический словарь есть часть логического

словаря, подтверждается всем ходом исследований по основаниям математики.

Такое заявление, хотя и не говорит о том, что математика буквально

составляет часть логики, но оно устанавливает первичность логики по

отношению к математике в смысле предшествования. Это значит, что никакой

математический термин, утверждение и доказательство не могут быть

осмысленными, если не будут осмысленны соответствующие логические термины.

Поскольку обратное не имеет места, то в строгом смысле здесь можно говорить

о первичности логики по отношению к математике только в смысле обоснования,

т. е. логика необходима для построения математики.

Что же касается заявления умеренного логицизма о том, что

математический словарь составляет часть логического словаря, то

обоснованность его зависит от ответа на главный вопрос: определимо ли

понятие множества (или класса) и некоторые тесно связанные с ним теоретико-

множественные понятия в чисто логических терминах? Рассел и его

последователи считают понятие множества понятием логики и соответственно

этому рассматривают теоретико-множественные аксиомы, в том числе и аксиому

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5