которые с самого начала как бы “ук-ладываются” эти ощущения, с помощью

которых ощущения как бы упорядочиваются. Эти формы – пространство и время.

Пространство – априорная форма внешнего чувства ( или внешнего созерцания),

тогда как время – априорная форма чувства внутреннего (внутренне-го

созерцания).

Синтетические суждения могут быть априорными в том случае, если они

опираются на форму чувственности, а не на чувственный материал. А таковы,

по Канту, именно суждения математики, кото-рая конструирует свой предмет,

опираясь либо на чистое созерцание пространства (геометрия), либо на чистое

созерцание времени (арифметика). Это не значит, конечно, что тем самым

математика не нуждается в понятиях рассудка; но из одних только понятий,

без об-ращения к интуиции, т.е. созерцанию пространства и времени, она не

может обойтись. Исходные положения геометрии, например, что прямая есть

кратчайшее расстояние между двумя точками, не могут быть получены

аналитически, ибо, говорит Кант, из самого понятия прямой нельзя логически

вывести признак величины расстояния; тут имеет место синтез разных понятий,

а он не может основыватьься на случайном, единичном опыте, поскольку тогда

математическое зна-ние не было бы всеобщим. Только чистая форма

чувственности – пространство – позволяет нам, опираясь на созерцание, в то

же вре-мя получить необходимую связь двух разных понятий. Мы чертим прямую

линию и непосредственно видим, что она есть кратчайшее расстояние между

двумя точками. Таким образом, рассмотрение пространства и времени не как

форм бытия вещей самих не себе, а как априорных форм чувственности

познающего субъекта позволяет Канту дать обоснование объективной значимости

идеальных конст-рукций - прежде всего конструкций математики. Тем самым и

дается ответ на вопрос: как возможны синтетические суждения a priori.

Интересны слова Бертрана Рассела: “Я пришел к философии через

математику, или скорей через желание найти некоторые основания для веры в

истинность математики. С ранней юности я страстно верил, что в ней может

быть такая вещь, как знание, что сочеталось с большой трудностью в принятии

многого того, что проходит как знание. Казалось, что наилучший шанс

обнаружить бесспорную истину будет в чистой математике, однако некоторые из

аксиом Евклида были, очевидно, сомнительными, а исчисление бесконечно

малых, когда я его изучал, содержало массу софизмов, с которыми я не мог

справиться сам. Но я не имел никаких оснований сомневаться в истинности

арифметики, хотя тогда я не знал, что арифметика может рассматриваться как

охватывающая всю традиционную чистую математику. В возрасте восемнадцати

лет я прочел “Логику” Милля, но был глубоко разочарован его доводами для

оправдания арифметики и геометрии. Я не прочел еще Юма, но мне казалось,

что чистый эмпиризм (который я был расположен принять) должен скорее

привести к скептицизму, чем к подтверждению выдвигаемых Миллем научных

доктрин. В Кембридже я прочел Канта и Гегеля, так же как и Логику” Брэдли,

которая глубоко повлияла на меня. (Брэдли Фрэнсис Герберт (1846—1924) —

главный представитель английского абсолютного идеализма. Критиковал

традицию британского номинализма и эмпиризма, а также ассоциативную

психологию. По Брэдли, в процессе познания всегда дается нечто

универсальное, поэтому ориентация эмпиристов на фиксацию и обобщение

изолированных фактов несостоятельна. Объективно-идеалистическая метафизика

Брэдли построена на противопоставлении противоречивой сферы “видимости” и

подлинной реальности — “Абсолюта” Для его “Принципов логики” (1883)

характерно влияние гегелевской диалектической логики и антипсихологистская

установка. Брэдли негативно воспринял новую математическую логику -

прим.ред.). Несколько лет я был учеником Брэдли, но примерно в 1898 г я

изменил свои взгляды в значительной мере в результате дискуссии с Д. Э.

Муром Я не мог больше полагать, что познание оказывает влияние на то, что

познается. Также я убедился в справедливости плюрализма Анализ

математических утверждений склонил меня к тому, что они не могут быть

объяснены даже как частичные истины, если не допускается плюрализм и

реальность отношений Случай привел меня в это время к изучению Лейбница, и

я пришел к заключению (впоследствии подтвержденному мастерскими

исследованиями Кутюра), что большинство его характерных мнений было обязано

чисто логической доктрине, что каждое суждение имеет субъект и предикат.

(Кутюра Луи (1868-1914) - французский логик, одним из первых обративший

внимание на современное значение логических идей Лейбница) Эту доктрину

Лейбниц разделял со Спинозой, Гегелем и Брэдли. Мне показалось, что если ее

отвергнуть, то весь фундамент метафизики этих философов разрушится. Я,

таким образом, вернулся к проблеме, которая вначале привела меня к

философии, а именно к основаниям математики, применив к ней новую логику,

разработанную в основном Пеано и Фреге, которая доказала (по крайней мере,

так я считаю) значительно большую плодотворность, чем логика традиционной

философии. (Пеано Джузеппе (1858-1932) - итальянский математик,

разработавший систему логических аксиом, на основе которых должна была

строиться арифметика). В первую очередь я обнаружил, что многие из прежних

философских аргументов о математике (заимствованных в основном от Канта)

оказались тем временем несостоятельными благодаря прогрессу математики.

Неевклидовы геометрии подорвали аргументацию трансцендентальной эстетики.

Вейерштрасс показал, что дифференциальное и интегральное исчисления не

требуют концепции бесконечно малых, и, следовательно, все то, что было

сказано философами о таких предметах, как непрерывность пространства,

времени и движения должно рассматриваться как явная ошибка. (Вейерштрасс

Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) - немецкий математик, занимавшийся

логическим обоснованием математического анализа). Кантор освободил

концепцию бесконечного числа от противоречий и тем самым справился с

антиномиями как Канта, так и Гегеля. Наконец, Фреге показал детально, как

арифметика может быть выведена из чистой логики без привлечения каких-либо

новых идей или аксиом, таким образом, опровергнув утверждение Канта, что “7

+ 5 - 12” является синтетическим — по крайней мере в обычной интерпретации

этого утверждения. (Кантор Георг (1845—1918) - немецкий математик, один из

создателей современной теории множеств. Фреге Готлоб (1848—1925) — немецкий

математик и логик, один из создателей логической семантики). Поскольку все

эти результаты были получены не с помощью какого-либо героического метода,

а посредством терпеливых детальных рассуждений, я стал думать, что

философия, вероятно, заблуждалась, применяя героические средства для

разрешения интеллектуальных трудностей, которые можно было преодолеть

просто с помощью большей внимательности и аккуратности в рассуждениях.

Такой взгляд со временем все больше и больше укреплялся и привел меня к

сомнению относительно того, отличается ли философия как исследование от

науки и обладает ли она своим собственным методом, являющимся чем-то

большим, чем неудачным наследием теологии.”

3. Соотношение математики и логики.

Чтобы правильно поставить сам вопрос о соотношении математики и

логики, необходимо, очевидно, рассмотреть его в исторической перспективе.

Это обстоятельство не игнорирует и сам Б. Рассел. «Математика и логика,—

пишет он,— исторически говоря, были целиком различными занятиями.

Математика обычно ассоциировалась с естествознанием, логика — с греками. Но

обе развились в настоящее время: логика стала более математической, а

математика — более логической. Следствием этого является то, что сейчас

стало совсем невозможно провести разграничительную линию между ними:

фактически они стали единым исследованием. Они отличаются друг от друга так

же, как юноша от мужчины: логика есть юность математики, а математика —

зрелость логики».

В этом отрывке Рассел справедливо подчеркивает тесное взаимодействие

между математикой и логикой в процессе их исторического развития,

выявившееся с особой силой в нашем столетии. Именно в силу этого

оказывается весьма трудным решить, какая из этих. наук генетически

предшествовала другой. Многие специалисты склоняются к мысли, что

математическое знание по крайней мере в полуэмпирической форме существовало

задолго до того, как были открыты правила дедуктивных рассуждений. Прежде

чем греческие геометры стали логически систематизировать результаты,

найденные их предшественниками — египтянами, должна быжа существовать

довольно развитая совокупность математических знаний, непосредственно

связанных с различными вычислениями и измерениями. С другой стороны, трудно

допустить, чтобы при получении этого знания не применялись те или иные

принципы позднее возникшей логики.

Применение логических правил рассуждения нельзя отождествлять с

обоснованием и дальнейшей разработкой этих правил. Человек, не знакомый с

логикой, может тем не менее рассуждать правильно, т. е. приходить к

истинным заключениям. Разумеется, только у греков математика превратилась в

систематизированное научное знание, стала теоретической наукой, в которой

широко использовались не только дедуктивные рассуждения, но и позднее

возникший аксиоматический метод.

Все это показывает, что генетически логика вряд ли могла возникнуть

раньше математики. Во всяком случае, если говорить о ясно сформулированных

принципах дедуктивных рассуждений и их использовании и математике, то

впервые они были развиты греческими философами. Аристотель и стоики в

значительной мере усовершенствовали и систематизировали эти принципы, так

что их работа представляет скорее не начало, а завершение длительного этапа

многочисленных исследований в этой области, восходящих еще к VI в. до н. э.

Вряд ли, однако, тесную взаимосвязь и взаимодействие между логикой и

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5