религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец,

пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее

абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения

математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие

глобальные расхождения в понимании природы математических объектов у школ,

существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою мудрость,

по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока? Впрочем,

Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у

него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной

деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая

деятельность этих школ носила существенно различный характер.

Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины

появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой

математики: «Так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками,

впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами

всех вещей»[9]. Подобна точка зрения не лишена основания хотя бы в силу

применимости математических положений для выражения отношений между

различными явлениями. На этом основании можно, неправомерно расширив данный

момент математического познания, прийти к утверждению о выразимости всего

сущего с помощью математических зависимостей, а если считать числовые

отношения универсальными, то «число есть сущность всех вещей»[10]. Кроме

того, ко времени деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь

исторического развития; процесс формирования ее основных положений терялся

во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и

объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к

существующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.

В советской философской науке проблема появления пифагорейской

концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций марксистско-

ленинской философии. Так, О.И. Кедровский пишет: «...Выработанная им

(Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией вполне определенных

социальных слоев общества. Это были ...представители аристократии, теснимые

демосом... Для них характерно стремление уйти от тягот земной жизни,

обращение к религии и мистике»[11]. Эта точка зрения, как и первая, не

лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то посередине. Однако, на

мой взгляд, крах пифагорейского учения следует связывать, в первую очередь,

не с вырождением аристократии как класса, а с попыткой пифагорейцев

извратить саму природу процесса математического познания, лишив математику

таких важных источников прогресса, как приложения к производству, открытое

обсуждение результатов исследований, коллективное творчество, удержать

прогресс математики в рамках рафинированного учения для посвященных.

Кстати, сами пифагорейцы подорвали свой основополагающий принцип «число

есть сущность всех вещей», открыв, что отношение диагонали и стороны

квадрата не выражается посредством целых чисел.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая

математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мировоззрения -

материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что

наряду с влиянием мировоззрения на развитие математического познания, имеет

место и обратное воздействие.

ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА

Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна

из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно

тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской

школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина

V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы

миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) есть только бытие,

небытия нет; 2) существует не только бытие, но и небытие; 3) бытие и

небытие тождественны. Истинный Парменид признает только первую посылку.

Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в

себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность,

текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.

Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве

сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его

неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять.

Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства

против движения; например, «движения не существует на том основании, что

перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы

дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.»[12].

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого

смысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные,

поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим

стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь

от заключений к посылкам, можно реконструировать исходные положения,

которые он взял за основу своей концепции. Важно отметить, что в концепции

элеатов, как и в дозеноновской науке, фундаментальные философские

представления существенно опирались на математические принципы. Видное

место среди них занимали следующие аксиомы:

1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых,

но протяженных величин должна быть бесконечно большой;

2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных

величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее

заданной протяженной величиной.

Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с

фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по

философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний.

Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого

несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как

противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить

такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности,

соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание

математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким

образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.

Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль математики в

формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона

связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. На этом

основании советский историк математики Э. Кольман сделал предположение, что

«именно на математический почве суммирования таких прогрессий и выросли

логико-философские апории Зенона»[13]. Однако такое предположение, по-

видимому, лишено достаточных оснований, так как оно слишком жестко

связывает учение Зенона с математикой при том, что имеющие исторические

данные не дают основания утверждать, что Зенон вообще был математиком.

Огромное значение для последующего развития математики имело повышение

уровня абстракции математического познания, что произошло в большей степени

благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой проявления этого процесса

было возникновение косвенного доказательства («от противного»), характерной

чертой которого является доказательство не самого утверждения, а

абсурдности обратного ему. Таким образом, был сделан шаг к становлению

математики как дедуктивной науки, созданы некоторые предпосылки для ее

аксиоматического построения.

Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным

толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических

вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения

качественно новой формы обоснования математических знаний.

ДЕМОКРИТ

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место

в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования

математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались

противоречия, выявленные Зеноном ?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в

пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую

позицию занял софист Протагор. Он считал, что «мы не можем представить себе

ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины

геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке»[14]. Таким

образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о

бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности;

бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д. Таким

путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при

этом практически упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее

было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы

выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил

Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

Демокрит был, по мнению Маркса, «первым энциклопедическим умом среди

греков»[15]. Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 70 его сочинений, в

которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии,

физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6