Для нормального закона распределения в задачах технической эксплуатации автомобилей коэффициент вариации
Дифференциальная функция распределения
где - математическое ожидание;
- среднее квадратическое отклонение.
Интегральная функция распределения нормального закона:
Вероятность попадания случайной величины, распределенной нормально в интервале определяется с помощью функции Лапласа ()
Заготавливаем статистическую таблицу
Таблица 2.2
Статистическая таблица для нормального распределения.
Наименование параметра
Номер интервала
1
2
3
4
5
6
7
1.Границы интервалов
10,0; 11,5
11,5;13,0
13,0; 14,5
14,5; 16,0
16,0; 17,5
17,5; 19,0
19,0; 20,5
2.Середины интервалов
10,75
12,25
13,75
15,25
16,75
18,25
19,75
3. Частота mi
8
16
4.Опытные частоты попа- даний в интервалы
0,095
0,048
0,19
0,381
0,119
0,071
5. Статистическая функция распределения F(xi)э
0,143
0,333
0,714
0,833
0,929
6. Теоретические вероятности попадания в интервалы Pi
0,046
0,117
0,2095
0,2505
0,1095
0,04
7. Теоретические числа попа- даний в интервалы m*
1,932
4,914
8,799
10,521
4,599
1,68
8. Слагаемые критерия Пирсона
0,455
0,013
0,854
0,567
0,177
0,01
0,016
9. Теоретическая функция распределения F(xi)
0,163
0,3725
0,623
0,74
0,8495
0,89
Вычисляем общее статистическое математическое ожидание наработки:
Вычисляем статистическую дисперсию:
Несмещенное значение среднеквадратического отклонения:
Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении опытных данных.
Вычисляем с помощью табличной функции Лапласа теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы:
Для 1-го интервала
;
Для 2-го интервала
Для 3-го интервала
Для 4-го интервала
Для 5-го интервала
Для 6-го интервала
Для 7-ого интервала
.
Значения теоретических вероятностей заносим в табл. 2.2 строка 5
На основании полученных теоретических вероятностей производим сглаживание опытной гистограммы теоретической кривой нормального закона.
Находим теоретические числа попадания случайных точек в интервалы и записываем значения в табл. 2.2 строка 6.
Вычисляем слагаемые критерия Пирсона, заполняя тем самым табл. 2.2 строка 7.
1-ый интервал 4-ый интервал
; ;
2-ой интервал 5-ый интервал
3-ий интервал 6-ой интервал
7-ой интервал
Суммируя слагаемые критерия Пирсона по интервалам, получаем значение критерия Пирсона:
Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному закону с помощью критерия Пирсона:
-число степеней свободы равно
-гипотеза не отвергается.
Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному распределению с помощью критерия Романовского:
Таким образом, по критерию Романовского гипотеза не отвергается.
Расчет критерия Колмогорова.
В каждом из интервалов определяем модуль разности между экспериментальными значениями интегральной функции F(xi)э и теоретическими F(xi), т.е.
и выбираем максимальное значение Dmax. Вычисляем расчетное значение критерия:
Таким образом, по критерию Колмогорова гипотеза не отвергается.
2.4.3 Логарифмически-нормальной распределения
В этом случае нормальное распределение имеет не сама величина, а значение ее логарифма. Логарифмически-нормальное распределение формируется в случае, если на протекание исследуемого процесса и его результата влияет сравнительно большое число случайных и взаимно независимых величин, интенсивность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния.
Модель формирования называется моделью “пропорционального эффекта”. Данным законом хорошо описывать изменение геометрических, диагностических параметров, а так же для описания усталостных процессов, коррозии, наработки крепежных соединений.
В решении задач ТЭА Vx=0,3…0,7
Таблица 2.3
Статистическая таблица для логарифмически-нормального распределения.
3.Опытные числа попаданий в интервалы mi
4.Опытные частоты попаданий в интервалы
5. Натуральный логарифм для середины интервала
2,375
2,506
2,621
2,725
2,818
2,904
2,983
6. Центрированная и норми- рованная случайная величина
1,793
1,082
0,457
0,109
0,614
1,511
7. Плотность нормированной и центрированной случайной величины
0,080
0,222
0,359
0,391
0,330
0,127
8. Плотности распределения f(xi)
0,098
0,142
0,139
0,107
0,066
0,035
9. Теоретические числа попаданий в интервалы mi*
2,52
6,174
8,946
8,779
6,741
4,158
2,205
10. Слагаемые критерия Пирсона
0,869
2,822
0,1
5,939
0,449
0,006
0,287
11. Вероятности не попадания в интервалы
0,94
0,853
0,787
0,791
0,839
0,901
0,947
12. Теоретические вероятности попадания в интервалы Pi
0,06
0,147
0,213
0,209
0,161
0,099
0,053
13. Теоретическая функция распределения F(xi)
0,207
0,42
0,629
0,79
0,889
0,942
14.Экспериментальные значения интегральной функции F(xi)э
Выдвигаем гипотезу о возможности распределения по логарифмически-нормальному закону.
Вычисляем значения натуральных логарифмов для середины интервалов:
Вычисляем статистическое математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
Несмещенная оценка для дисперсии :
Вычисляем центрированные и нормированные значения случайной величины и заносим значения в таблицу 2.3 строка 6.
Находим плотности распределения для центрированных и нормированных случайных величин, используя таблицу:
Заносим данные в таблицу 2.3 строка 7
Вычисляем плотности распределения случайной величины, заполняем строку 8 табл. 2.3
Вычисляем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервал по формуле:
Заполняем строку 12 табл.2.3
Вычисляем теоретические числа попадания случайной величины в интервалы по формуле: и заполняем строку 9 табл.2.3
Вычисляем составляющие критерия Пирсона для каждого интервала и заполняем строку 10 табл. 2.3
Проверяем правдоподобность гипотезы о принадлежности опытных данных к логарифмически-нормальному закону.
По критерию Пирсона:
Следовательно, по критерию Пирсона гипотеза о принадлежности опытных данных к логарифмически-нормальному закону отвергается.
По критерию Романовского:
- гипотеза не отвергается
Вычисляем вероятности исправной работы (кривая ресурса), для этого суммируем плотности распределения
2.5 Выбор оптимальной математической модели и проверка её на адекватность
При выполнении данной курсовой работы также были просчитаны законы распределения: Вейбулла, экспоненциальный и - распределение. Эти законы распределения отвергаются по всем критериям и однозначно не подходят к данному вариационному ряду.
В результате проделанных расчетов мы можем сделать вывод, что в нашем случае больше всего подходит нормальное распределение времени монтажа-демонтажа стартера автомобиля Merсedes. Это заключение мы сделали на основании рассчитанных критериев о принадлежности той или иной гипотезы. Выбранное распределение не отвергается не по одному из критериев и имеет наименьшее их значение:
- критерий Пирсона:
- критерий Романовского:
- критерий Колмогорова:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
