|
|
3. Застосуємо критерій Гурвіца (при = 0,6). Знову перепишемо таблицю 1.3.5, але цього разу в правих трьох додаткових стовпцях поставимо: мінімум рядка , його максимум , і величину , округлену до цілих одиниць (див. таблицю 1.3.8). Максимальне значення hi = 47 відповідає стратегії А3.
Отже, в даному випадку всі три критерії однозначно говорять на користь стратегії А3, яку є всі підстави вибрати.
Таблиця 1.3.8
|
||||||||||
|
Розглянемо випадок, коли між критеріями виникає «суперечка». Матриця виграшів () (з наперед виписаними стовпцями мінімумів рядків , максимумами рядків , і значеннями (при = 0,6)) дана в таблиці 1.3.9.
По критерію Вальда оптимальною є стратегія , по критерію Гурвіца з = 0,6 — стратегія .
Таблиця 1.3.9
|
|||||||||||
|
По критерію Севіджа матриця ризиків з додатковим стовпцем, що містить максимуми рядків , дана в таблиці 1.3.10. Мінімальним в останньому стовпці є число 38, так що критерій Севіджа, так само як і критерій Гурвіца, показує стратегію .
Таблиця 1.3.10
|
|||||||||
Відзначимо наступне: всі три критерії (Вальда, Севіджа і Гурвіца) були сформульовано для чистих стратегій, але кожний з них може бути поширений і на змішані, подібно тому, як це робиться в теорії ігор. Проте змішані стратегії в грі з природою мають лише обмежене (головним чином, теоретичне) значення. Якщо в грі проти свідомого супротивника змішані стратегії іноді мають сенс як «трюк», що вводить в оману супротивника, то в грі проти «байдужої природи» цей резон відпадає. Крім того, змішані стратегії придбавають значення тільки при багатократному повторенні гри. А якщо вже її повторюємо, то неминуче починають вимальовуватися якісь риси вірогідності ситуації, і ми ними можемо скористатися для того, щоб застосувати «стохастичний підхід» до задачі, а він змішаних стратегій не дає.
Крім того, в ситуаціях з «поганою невизначеністю», коли болісно не вистачає інформації, головна задача — цю інформацію отримати, а не вигадувати хитромудрі методи, що дозволяють без неї обійтися. Одна з основних задач теорії статистичних рішень — це якраз планування експерименту, мета якого — з'ясування або уточнення якихось даних.
2. Практична частина
Приклад 1
Уряд планує будівництво чотирьох типів електростанцій: (теплових), (пригребельних), (безшлюзових) і (шлюзових). Ефективність кожного з типів залежить від різних чинників: режиму річок, вартості палива і його перевезення і т.п. Необхідно вибрати самий оптимальний варіант.
Розв‘язання
Припустимо, що виділено чотири різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, що впливають на ефективність енергетичних об'єктів. Стани природи позначимо через і . Економічна ефективність будівництва окремих типів електростанцій змінюється залежно від станів природи і задана матрицею:
Згідно критерію Вальда:
Тоді оскільки , то слід передбачити будівництво безшлюзової ГЕС (А3) .
Скористаємося критерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:
Покажемо як були отримані елементи матриці ризиків.
Оскільки , то:
Поскольку , то:
Поскольку , то:
Поскольку , то:
Згідно критерію Севіджа визначаємо . Відповідно до цього критерію також передбачається будівництво безшлюзової ГЕС (А3) .
Скористаємося критерієм Гурвіца. Припустимо ;
тоді:
Отримаємо , тобто слід прийняти рішення про будівництво пригребельних ГЭС(). Якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, наприклад, якщо вважати ці стани рівноімовірними (), то для ухвалення рішення слід знайти математичне очікування виграшу:
Оскільки максимальне значення має М 3, то слід вибрати рішення А3.
Відповідно до даних отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Севіджа була отримана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3), використовуючи при розв’язку критерій Гурвіца була отримана рекомендація про будівництво пригребельної гідроелектростанції(), але якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, то дана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3) .
Приклад 2
Інвестор планує великі капіталовкладення в підприємство. Був проведений аналіз руху і технічного стану основних засобів. Дані приведені у таблиці 2.1.
Підприємство |
Коефіцієнт оновлення |
Коефіцієнт придатності |
Коефіцієнт приросту |
0,15 |
0,64 |
0,12 |
|
0,27 |
0,65 |
0,27 |
|
0,3 |
0,7 |
0,24 |
Таблиця 2.1 Дані про рух і технічний стан основних засобів
На основі цих даних інвестору необхідно зробити вибір.
Роз'вязання
Припустимо, що виділено три різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, що впливають на ефективність і прибутковість підприємства . Стани позначимо через . Складемо матрицю на основі отриманих даних :
Згідно критерію Вальда:
Тоді оскільки , то слід на основі даних інвестувати в друге підприємство .
Скористаємося критерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:
Покажемо як були отримані елементи матриці ризиків.
Оскільки , то:
Поскольку , то:
Поскольку , то:
Згідно критерію Севіджа визначаємо
.
Відповідно до цього критерію слід інвестувати у третє підприємство.
Скористаємося критерієм Гурвіца. Припустимо ;
тоді:
Отримаємо , тобто слід інвестувати у друге підприємство.
Відповідно до даних отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Гурвіца була отримана рекомендація про інвестування у підприємство , використовуючи при розв’язку критерій Севіджа була отримана рекомендація про інвестування у підприємство .
Висновки
Специфічним видом ігор, що мають велике значення при аналізі різних практичних ситуацій, є статистичні ігри. Вони мають ряд істотних відмінностей від стратегічних ігор. В основі теорії стратегічних ігор лежить припущення, що інтереси двох гравців протилежні. Кожний з гравців прагне так вибрати свою стратегію, щоб отримати для себе найбільшу вигоду і звести до мінімуму вигоду супротивника. В таких іграх кожний гравець діє активно і прагне по можливості використовувати оптимальну стратегію. Під стратегією природи розуміється повна сукупність зовнішніх умов, в яких доводиться ухвалювати рішення. Цю сукупність зовнішніх умов називають станом природи . В загальному випадку існує деяка множина можливих станів природи яка називатиметься простором стану природи, а елемент цього простору – чистими стратегіями природи. Задача статистика полягає в тому, щоб ухвалити яке-небудь рішення або виконати яку-небудь дію з сукупності рішень або дій. Статистик повинен уміти оцінити кожну з своїх дій. Функція L(, а) називається функцією втрат. Знання функції втрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовах інформації, яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілу вірогідності дозволяє визначити середні втрати, які несе статистик, виконуючи ту або іншу дію. Статистична гра може бути представлена у вигляді еквівалентної S-гри абсолютно таким же чином, як це робилося в стратегічних іграх. Не існує універсального правила, що дозволяє вибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Принципом вибору називають правило, що дозволяє визначити якнайкращу, змішану стратегію статистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципами вибору своєї стратегії. Одним з можливих принципів вибору стратегії може бути принцип мінімакса, який успішно застосовують в стратегічних іграх, коли гра ведеться проти розумного супротивника, охочого заподіяти нам найбільший збиток. Проте у ряді випадків доцільно використовувати цей принцип і в статистичних іграх. Мінімаксні принципи, витікаючі з припущення, що природа діє якнайгіршим для статистика чином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичних іграх вони виражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отримати доступне і що не ганяється за нездійсненним, щоб не потерпіти випадково великого збитку. Недоліком мінімаксних принципів слід рахувати також те, що вони не враховують апріорної інформації про стани природи і тим самим обмежують той виграш, який ця інформація може дати. Іншим принципом вибору стратегії, що враховує апріорний розподіл вірогідності, є байесовський принцип. Байесовський принцип, природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат. Найпростіший випадок вибору рішення в грі з природою — це випадок коли якась із стратегій гравця А перевершує інші («домінує» над ними). Тут виграш домінуючої стратегії при будь-якому стані природи не менше ніж при інших стратегіях, а при деяких — більше; значить потрібний вибирати саме цю стратегію. Якщо навіть в матриці гри з природою немає однієї домінуючої над всіма іншими стратегії, все ж таки корисно подивитися, чи немає в ній дублюючих стратегій і поступливих іншим за всіх умов. Згідно критерію Вальда гра з природою ведеться як гра з розумним, причому агресивним супротивником, що робить все для того, щоб перешкодити нам досягти успіху. Оптимальною вважається стратегія, при якій гарантується виграш у будь-якому випадку не менший, ніж «нижня ціна гри з природою».
Відповідно до критерію Севіджа в умовах невизначеності слід вибирати таку стратегію, яка гарантує мінімальний ризик. Критерій Гурвіца рекомендує при виборі рішення не керуватися ні крайнім песимізмом, ні крайнім, легковажним оптимізмом. В курсовій роботі розглянуто практичне застосування критеріїв Вальда, Севіджа і Гурвіца на прикладі вибору оптимального варіанту будівництва гідроелектростанції і об’єктів інвестування. Відповідно до даних отриманих в розв’язку прикладу 1 можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Севіджа була отримана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3), використовуючи при розв’язку критерій Гурвіца була отримана рекомендація про будівництво пригребельної гідроелектростанції(), але якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, то дана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3).
Відповідно до даних отриманих в розв’язку прикладу 2 можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Гурвіца була отримана рекомендація про інвестування у підприємство , використовуючи при розв’язку критерій Севіджа була отримана рекомендація про інвестування у підприємство .
Список літератури
1. Бутинець Ф.Ф. Економічний аналіз: Навч. посібник для студентів ВНЗ.-Житомир:ПП «Рута», 2003.-680с.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.-2-е изд.-М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. литературы, 1988.-208с.
3. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. – М.: Физ.-мат. издательство, 1961.- 69с.
4. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами.- М.: Главная редакция физ.-мат. литературы из-ва «Наука», 1976.
5. Горелин В.А. Исследование операций: Учебник.- М. «Машиностроение»,1986.-288с.
6. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. -М.: Высшая школа, 1976.
7. Партхасаратхи Т., Рагхаваи Т. Перевод с англ. Доманского П.П. Некоторые вопросы теории игр двух лиц.- М.: «Мир», 1974.-280с.
8. Савицька Г.В. Економічний аналіз діяльності підприємств: Навч. посібник.-2-ге видання, випр. і допов.- К.:Знання, 2005.-662с.
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.