(1)+(2)+(3)+….+(n)+f=0
где цифры в скобках- искомые поправки к углам полигона, а f-невязка.
Для отыскания неизвестных поправок по способу наименьших квадратов надо к этому условному уравнению добавить уравнение минимума суммы квадратов. Тогда будет получено два уравнения:
(1) +(2)+(3)+….+(n)+f=0
(1)2 +(2)2+(3)2+….+(n)2=0
Для решения двух уравнений со многими неизвестными надо первое уравнение умножить на (-2k) и сложить со вторым уравнением.
(1)2 +(2)2+(3)2+….+(n)2-2k(1)-2k(2)-2k(3)-…-2k(n)-2kf=min
Коэффийиент k носит название корреллаты. Для отыскания минимума надо брать производные по каждому неизвестному и приравнивать их к нулю:
Откуда
(1)=k, (2)=k=….=(n)
Подставляя эти значения в первое уравнение, полуыим
nk+f=0
откуда
k=-f/n=(1)=(2)…(N)
Из этого следует, что искомые поправки равны между собой -f/n, где n- число углов.
Так решается по способу наименьших квадратов одно уравнение с несколькими неизвестными и коэффициентами при них, равными единицы. Такой вид уравнений имеют условия фигур и горизонта.
При уравновешивании геодезических сетей может возникать несколько условий, выражаемых математическими формулами. В общем виде эти формулы можно выразить уравнениями:
a1(1)+a2(2)+…..+an(n)+f1=0
b1(1)+b2(2)+…..+bcn(n)+f1=0
c1(1)+c2(2)+…..+cn(n)+f1=0
где (1), (2),…(т)- искомые неизвестные поправки к углам: a1 ,a2…an ; b1 ,b2…bn ; c1 ,c2…cn – коэффициенты, f1 , f2 , f3 – свободные члены (невязки).
Для уравнений по способу наименьших квадратов надо уравнение умножить на удвоенные коррелаты с минусом (-2k1 ,-2k2 , -2k3 ) и сложить с условием минимума суммы квадратов поправок (1)2+(2)2+….+(n)2=min.
Общий вид уравнения:
a1(1)+a2(2)+….+an(n)+f=0
Здесь a1 , a2 ,…an – коэффициенты при искомых поправках (1), (2), (3), (n);
f – невязка. Это уравнение надо решать под условием, чтобы сумма квадратов поправок равнялась минимуму.
Вычисление искомых поправок по способу наименьших квадратов выполняется следующим образом:
1. вычисляют коэффициент k – кореллату по формуле
k=-(f/åa2)
т.е. невязка с обратным знаком делится на сумму квадратов коэффициентов при поправках уравнения.
2. поправки решаемого уравнения вычисляют по формулам:
(1)=a1k; (2)=a2k; (n)=ank
В уравнениях поправок фигур треугольников, горизонта и азимутов при искомых поправках коэффициенты равны a=1. Поэтому a2=1. В уравнении поправок треугольников åa=3 и k=-(f/3).
Поправки равны, т. е. (1)=(2)=(3)=-(f/3)
В уравнениях поправок горизонта и азимута коэффициенты a=1 и åa2=n, где n-число поправок уравнения поровну распределяется с обратным знаком на углы. В уравнении поправок синусов и сторон коэффициенты ai – изменении логарифмов синусов не равных единицы, åa2 имеет большое значение.
3. Виды условных уравнений в триангуляции.
Задачи уравновешивания тригонометрической сети состоит в отыскании поправок в измеренные углы, которые наилучшим образом удовлетворили бы теоретические условия сети, а измеренные величины после введения в них поправок получили бы вероятнейшее значение. Треугольники триангуляции образуют центральные системы, которые должны удовлетворять теоретические условия геометрии.
1. Условия уравнивания фигур.
1. Условное уравнение фигур.
Сущность: Сумма углов 1,2,3 каждого треугольника должна быть равна 180 градусам, но на практике бывают невязки которые вычисляют по формуле:
2
а.¦=1+2+3-180°
3
поправка равна: ¦/3
1
б. 1+(1)+2+(2)+3+(3)-180=0
После вычитания формулы а. из формулы б. получим условное уравнение поправок треугольников
(1)+(2)+(3)+¦=0
Предельная невязка углов треугольников определяется формулой:
¦пред=2.5mbÖ3
где mb- средняя квадратическая ошибка углов.
Таких уравнений в сети возникает столько сколько треугольников с измеряемыми углами.
2. Условие уравнивания горизонта.
Сущность: в центральной системе при точке ТО сумма углов g должна быть равна 360°. Но практически будет невязка:
g4
g5
g3
g1
g2
а. g1+g2+g3+g4+g5-360°=¦g
поправка будет равна: ¦g/5
б. g1+(g1)+g2+(g2)+g3+(g3)+g4+(g4)+g5+(g5)-360° =0
Уравнение горизонта мы получим после вычитания формулы а. из б.
(g1)+(g2)+(g3)+(g4)+(g5)+¦g=0
Предельная невязка углов ¦ определяется формулой:
¦пред=2.5mbÖn
где n – количество углов при цетре.
3. Условное уравнение полюса:
Сущность: в каждом треугольнике должно быть выполнено условие пропорциональности сторон и противолежащих углов
bca/abc=1 это условие полюса в точке O для центральной системы.
Заменяя отношение сторон синусом противоположных углов, исправленных поправками. После логарифмирования и разложения функции в ряд мы получим:
W=lg(sin1sin3sin5/sin2sin4sin6)
Окончотельный вид полюсного условного уравнения будет выглядеть так:
d1(1)+d3(3)+d5(5)-d2(2)-d4(4)-d6(6)+W=0
Величина невязки зависит от ошибок в связующих углах
Wпред=2.5*mb*Ö(d)
4. Условное уравнивание сторон.
Условие сторон возникает в цепи треугольников расположенной между двумя сторонами исходной цепи. Геометрический смысл состоит в том, что при последовательном решении треугольников от начальной стороны должна быть получена конечная сторона.
d1(x1)+d2(x2)+d3(x3)+d4(x4)-b1(y1)-b2(y2)-b3(y3)-b4(y4)+WD=0
Wdпред=2.5*mb*Ö2mb+m2(d2+b2)
5. Условное уравнение координат
Условие координат возникает в сети, если в ней может быть выделен ход, заключенный между двумя твердыми точками.
Это условие заключается в том, чтобы сумма приращений по каждой координатной оси была равна разности координат конечной и начальной точек.
Невязки вычисляются по формуле:
¦x=åDx-(xк-xн); ¦y=åDy-(yк-yн)
сумма поправок приращений должна равнятся нулю.
dxBC+dxCD+dXDE+¦x=0
dyBC+dyCD+dyDE+¦=0
4. Упрощенное уравнивание центральной системы.
В центральной системе возникает условное уравнение фигур, горизонта и полюса. Математически эти условия выражаются уравнениями поправок. Число условных уравнений фигур равно числу треугольников:
(x1)+(y1)+f1=0
(x2)+(y2)+f2=0
(x3)+(y3)+f3=0
(x4)+(y4)+f4=0
(x5)+(y5)+f5=0
Одно условное уравнение горизонта имеет вид:
(g1)+(g2)+(g3)+(g4)+(g5)=fg=0
Условное уравнение полюса согласно формуле имеет вид:
d1(x1)+d2(x2)+d3(x3)+d4(x4)+d5(x5)- d1(y1)-d2(y2)-d3(y3)-d4(y4)-d5(y5)+W=0
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
