Транспонирование произведения матриц доопределяется произведением
транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:
(a c )t = (c )t (a )t;
в частности:
( p2 a ) t = a t (p2) t и (a q 1) t = (q 1) t a t ,
а также
((p1 , q 1() t = ((q 1) t, (p1) t( .
Теперь, двойственная часть задачи равновесного управления, полученная
нами в строчных векторах p1 и p2 с умножением на матрицу a справа:
p2 : max (p2 , q 2( при p2 a ( p1 ,
в транспонированном виде записывается подобно своей прямой части
q 1 : min (p1 , q 1( при a q 1 ( q 2
в столбцовых векторах (p1)t и (p2)t с умножением на транспонированную
матрицу a t слева:
(p2 )t : max ((q 2)t, (p2)t( при a t (p2) t ( (p1 )t.
1.3. Задача выпуска
1.Табличное представление. Задача выпуска является "обратной" по
отношению к предыдущей задаче затрат задачей равновесного производственного
управления. Процессом производства в ней является процесс сборки ряда
взаимозаменяемых сложных изделий из нескольких видов простого сырья.
Примерами задачи выпуска являются задачи оптимального планирования сборки
изделий из нескольких видов комплектующих узлов, в частности:
- строительства из нескольких видов строительных материалов
- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,
- времени работы рабочих нескольких специальностей,
и им подобные задачи.
При использовании m видов сырья для производства n видов изделий во
всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затрат c,
составляющие которой
ci j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] ( 0 ,
имеют обратные количественные размерности по отношению к количественным
размерностям матрицы выпуска a : [ aj i] = количество j-изделий / на
единицу i-сырья.
В условиях заданного вектора предложения сырья q 1 и заданных цен
p2 на производимые изделия в количественной (прямой) части обратной
задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий q 2
, а в ценовой (двойственной) части - наименее расходные цены p1
потребляемого сырья:
| |q 21 ( q 2n | |
|p1 1|c1 1 ( c1 n |q 11|
| |( ( ( | |
|( |cm1 ( cm n |( |
|p1 m| |q 1m|
| |p21 ( p2 n | |
Формальным отличием приведенной таблицы от таблицы предыдущей задачи
является, как мы видим, замена сырьевых переменных "издельными" и
наоборот.
2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат ci j единиц
i-сырья на каждую единицу производимого j-изделия, на выпуск q 21 , ( ,
q 2n единиц изделий всех n видов потребуется q 11 , ( , q 1m :
q 11 = c1 1 q 21 + ( + c1 n q 2n ( (c1 , q 2( ;
. . .
q 1m = cm 1 q 21 + ( + cm n q 2n ( (cm , q 2( ,
единиц сырья каждого вида. n-мерные строки матрицы затрат, служащие
коэффициентами балансовых соотношений:
c1 = ( c1 1 ( c1 n );
cm = ( cm 1 ( cm n ),
есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент производимых из
него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:
q 1 = q 1(q 2) = c q 2 ,
описывает линейный процесс пересчета предложения выпускаемых изделий в
спрос на потребляемое для их производства сырье.
Допустимым является такое предложение изделий, при котором спрос на
потребляемое сырье не превосходит его предложения:
q 1 = c q 2 ( q 1.
Доход такого производства, выражаемый стоимостью M(q 2) продаваемых
по ценам p2 предлагаемых количеств изделий:
M(q 2) = p2 1 q 21 + ( + p2 n q 2n ( (p2 , q 2( ,
называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама же
задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых планов производства
найти план наибольшей стоимости:
| | |
|q 2 : ( p2 , q 2( = max ( p2 , q|.|
|2( | |
|q 2 ( c q 2 ( q 1 | |
В сущности, все задачи равновесного управления являются определениями
равновесных значений своих искомых неизвестных.
3.Ценовая часть задачи выпуска. Одновременно, затраты на каждую
единицу j-изделия ci j единиц сырья всех m видов по ценам p1 i: i=1, ( ,
m, сообщают выпускаемым изделиям цены p2 1 , ( , p2 n :
p2 1 = p1 1 c1 1 + ( + p1 m cm 1 ( (p1 , d 1( ;
p2 n = p1 1 c1 n + ( + p1 m cm n ( (p1 , d n( .
m-мерные столбцовые векторы матрицы затрат:
| |c1 1| |c1 n| |
|d 1 | |, ( , d n| |,|
|( |( |( |( | |
| |cm 1| |cm n| |
есть векторы затрат сырья на выпуск изделия каждого вида. Ценовые
балансовые соотношения
p2 = p2(p1) = p1 c
описывают осуществляемое матрицей затрат двойственное линейное
преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.
При заданных продажных ценах изделий вложенное в них сырье
приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:
p2 = p1 c ( p2 .
Как и в задаче затрат полученные ценовые условия равновесия выражают
необходимое условие продаж: покупка готовых изделий не должна быть дороже
их самостоятельного изготовления.
Стоимость расходуемого сырья:
Mdual(p1) = p1 1 q 11 + ( + p1 m q 1m ( (p1 , q 1( ,
составляет расход производства. Ищутся допустимые цены сырья, сообщающие
его стоимости наименьшее значение:
| |
|p1 : ( p1 , q 1( ( min ( p1 , q |
|1( |
|p1 ( p1 c ( p2 . |
4.Каноническая пара задач. Итак, мы описали все четыре линейные
статические задачи равновесного производственного управления:
| | |q 1| | |
|- пару задач затрат: |p2 |a |q 2|:|
| | |p1 | | |
с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья:
q 1 : min (p1 , q 1( при a q 1 ( q 2 ,
и двойственной ей задачей оптимального планирования цен выпускаемых
изделий:
p2 : max (p2 , q 2( при p2 a ( p1 ;
| | |q 2| | |
|- и пару задач выпуска: |p1 |с |q 1|:|
| | |p2 | | |
с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий:
q 2 : max ( p2 , q 2( при c q 2 ( q 1 ,
и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья:
p1 : min ( p1 , q 1( при p1 c ( p2 .
Как мы видим, обе задачи обладают "перекрестной" симметрией и
формально, то есть безотносительно к экономическому содержанию, прямая и
обратная пары задач тождественны друг другу с точностью до - 1)-
переобозначения своих величин и -2)- перестановки между собой их взаимно-
двойственных частей:
min ( p1 , q 1( при a q 1 ( q 2 max ( p2 , q 2(
при c q 2 ( q 1,
max ( p2 , q 2( при p2 a ( p1 min ( p1 , q 1(
при p1 c ( p2 .
Точная взаимозаменяемость задач достигается:
- заменой технологических матриц:
c ( a ,
- и переобозначением количественных и ценовых векторов:
(p1; 2 )t ( q 1; 2 .
При этом прямая часть задачи затрат становится равносильной двойственной
части задачи выпуска, а двойственная часть первой - прямой части второй.
Будем называть взаимно-двойственную пару задач прямого (затратного)
вида с прямой (количественной) частью на минимум и двойственной (ценовой)
частью на максимум:
| | | | | |
| |q 1| | |q 1 : min ( p1 , q 1( при |
| | | | |a q 1 ( q 2 , |
|p2 |a |q 2| : | |
| |p1 | | |p2 : max ( p2 , q 2( при |
| | | | |p2 a ( p1 . |
- канонической парой линейных задач статического равновесия, а их
переменные q 1 и p2 - канонически сопряженными переменными.
1.4. Задача равновесия
Физическое содержание задачи равновесия. В трехмерном случае: m, n (
3, наша задача имеет простое физическое истолкование. Во внешнем силовом
поле постоянной во времени и пространстве напряженности p1 скалярная
линейная функция координат L(q 1):
L(q 1) = (p1 , q 1( ,
является потенциальной энергией находящегося в точке q 1 пробного тела
единичной массы (заряда). Все налагаемые на перемещения пробного тела
дополнительные ограничения называются в механике связями. Ограничения нашей
задачи
q 1: a q 1 ( q 2
задают в пространстве ее переменной q 1 выпуклую многогранную область
допустимых перемещений. В итоге, каноническая задача оптимального
производственного управления:
q 1: min ( p1 , q 1( при a q 1 ( q 2 - ?
- физически представляет собою задачу вычисления в ограниченной области
пространства координат q 1 точки наименьшей потенциальной энергии L(q 1)
пробного тела единичной массы в постоянном внешнем силовом поле p1 .
Точка наименьшей потенциальной энергии называется точкой статического
равновесия и задача ее определения - задачей статического равновесия. По
этой причине линейную задачу оптимального производственного планирования мы
будем называть так, как об этом заявлено в названии, а именно - линейной
задачей статического равновесия.
Особенностью линейных задач является независимость их свойств от
геометричеких размерностей их величин. Это обстоятельство используется для
распространения трехмерной терминологии на линейные задачи равновесия любой
пространственной размерности.
Возьмем в качестве пробного тела идеальный маленький шарик (то есть
шарик, с диаметром, меньшим длины самого короткого ребра допустимой
области, без трения покоя перекатывающийся между всеми ее угловыми точками)
и поместим его в образуемую системой ограничений выпуклую многогранную
область. Основные свойства задачи равновесия становятся физически
очевидными свойствами его поведения в этих условиях.
Так, условие невыкатывания шарика из области ограничений под
действием приложенной к нему внешней силы является признаком существования
решения задачи равновесия. Геометрически он состоит в условии
принадлежности вектора силы p1 выпуклой оболочке коэффициентных векторов
всех ограничений.
Точка равновесия, если она существует, располагается на границе
области допустимых перемещений и, более того, - в одной из угловых точек
границы.
Выпуклая области имеет выпуклую границу и наоборот. Физически, это
обстоятельство равносильно условию свободного перемещения шарика по границе
в поисках точки своего равновесия. Способ последовательного приближения к
точке равновесия посредством движения по ребрам граничной поверхности
называется "симплекс-методом" решения задачи линейного программировани.
Задача оптимизации заданной функции на заданной поверхности называется в
механике задачей управления.
Грани точки равновесия называются равновесными гранями. В точке
равновесия со стороны каждой равновесной грани на шарик действует сила
реакции опоры, направленная прямоугольно этой грани вдоль вектора ее
нормали. Признак равновесия выражает собою содержание третьего закона
Ньютона, по которому в точке равновесия вес пробного тела уравновешивается
суммой сил реакций опор. Равновесные цены выпускаемых изделий являются
коэффициентами p2 этого разложения.
Если некоторая грань является равновесной, то она проходит на нулевом
расстоянии от точки равновесия и, потому, с ее стороны на шарик действует
ненулевая сила реакции опоры; если же грань неравновесна, то она
располагается на строго положительном расстоянии от точки равновесия и,
потому, сила реакции с ее стороны равняется нулю. В теории задачи
равновесия эта пара свойств получила название дополняющей нежесткости.
Отсутствие вырождения в виде прямоугольности вектора напряженности
силового поля одной из равновесных граней служит признаком единственности
решения задачи равновесия. При непрерывных значениях параметров точная
пропорциональность координат вектора p1 и какого-то вектора al нормали
грани невероятна и может быть лишь следствием округления численных значений
их координат. Такое вырождение задачи называется случайным и легко
снимается малыми изменениями или “шевелением” параметров. Отношения,
сохраняющиеся при шевелении их параметров, называются случаем общего
положения или, по-просту, - общим случаем.
Основная литература
1. Л.В.Канторович. Экономический расчет наилучшего использования
ресурсов. М., 1960
2. Дж.Данциг. Линейное программирование, его применения и обобщения.
М., “Прогресс”, 1966
3. Д.Б.Юдин и Е.Г.Гольштейн. Линейное программирование: теория,
методы и приложения. М., “Наука”,1969
4. М.Интрилигатор. Математическкие методы оптимизации и экономическая
теория. М., “Прогресс”, 1975
Страницы: 1, 2, 3
