смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании

натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к

интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно

судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов,

отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство

непротиворечивости доказательством их существования. "В математике

существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от

противоречия" [18; 124].

Представление о самостоятельном существовании математических объектов

подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист

Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме

"существовать - значит быть воспринимаемы", рьяно выступал против

представления о самостоятельном существовании математических объектов. В

своем памфлете "Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему

математику…" Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на

том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]

Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа

Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который

подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип

нетождественности объекта восприятию. В своем труде «Принципы математики»

Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя

обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими

независимо от сознания. [16; 87]

Абстрактные объекты не существуют в качестве самостоятельного объекта,

стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами

выражения действительности. Сама же действительность выступает не как

совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее,

что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность.

Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в

сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что

должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности

увидеть те или иные аспекты количественных отношений.

Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью

только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как

существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки

уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта

увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с

абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными

отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в

отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам.

Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только

обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению

математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В

«Правилах для руководства ума» он писал, что «мысля о числе, не нужно

делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего

представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные

свойства…». [7; 149]

В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим

свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает

математические средства выражения предмета математики в сам предмет,

превращается , по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно

оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный

предмет математики.

А.Гейтинг замечает, что «мы не могли бы сравнивать натуральные числа

друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами

материального представления, почему они и продолжают существовать после

акта их построения» [6; 24].

Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью

человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они

выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что

человек должен считаться с их природой как и с природой реально

существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом

существовании абстрактных объектов.

3. Функция как отражение окружающей действительности

Функция представляет собой одно из основных математических понятий XX

в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике

выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия

функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его

действительное значение для развития математического познания.

Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-

1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком

смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об

отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого

рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от

латинского “функтус” - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не

было освобождено от геометрической формы.

Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического

языка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное

каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17].

Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от

геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.

Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его

школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона

(1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных

функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова "функция" Ньютон

применял термин "ордината". Он сводил изучение геометрических и физических

зависимостей к изучению этих "ординат", а сами "ординаты" описывали

различными аналитическими выражениями.

Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, стало полноценным, надо

было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми.

Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые

входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и

извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных

тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции

называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда

выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить

новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных

функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих

функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций.

Поэтому один из самых замечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер

(1707-1783) в одной из своих работ пишет: "Когда некоторые количества

зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они

подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых" [2; 18].

В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует,

чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с

х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим

выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и

выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и

оставаться неизвестной." [11; 284]

Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются

понятия "функция", "отображение", "оператор", возник после того, как во

второй половине XIX века было введено общее понятие множества. И именно

творцы теории множеств Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали

общее определение отображения. Его можно сформулировать:

Пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение f

множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан

соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют

образом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в

математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд

вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная

функция, сложная функция и т. д.

В результате систематического построения математического анализа на

основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории

множества возникла новая отрасль математики - теория функций

действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие многих

других отделов математики

В начале XX века на базе этой теории функций возникла новая ветвь

математики - функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие из

функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения

и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на

свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства,

имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе,

пространства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по

функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический

язык.

Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой, он находит

многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике,

позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и

вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень

далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный

математик Р. Курант (1888-1972) писал:

“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации,

устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная

атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает

решающее испытание - приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли

поставленные цели...” [4; 25]

В XX веке понятие функции подверглось дальнейшим обобщением. Возникло

понятие функции, отражавшее свойства физических величин, сосредоточенных в

отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребности физики привели к

изучению функций, принимавших случайные значения. Но методы математического

анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций,

нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.

Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом:

"функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению

одного из них сопутствует изменение другого" [13; 615-616]

Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от

определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни

прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о

существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых

позволяет найти значение другой величины.

В результате изучения различных функций в математике появились новые

теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре

создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательные

применения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар,

А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций.

Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают

А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию

конформных отображений - советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев,

Г.М.Голузин и др. На основе комплексных чисел возникает теория функций

комплексного переменного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.

Выше приведенные примеры теорий функции показывают нам важность данного

понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочный вывод (в силу

множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, что все эти

теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительности же

эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-за

запросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самой

математики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории

не имеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.

Как мы уже выяснили, понятие «функция» в математике играет значительную

роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие в философии.

Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовки этого

понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в

философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами

некоторых множеств, - как одна из смысловых сторон «функции», имеет

непосредственное отношение к окружающему миру.

В. И. Ленин писал: «Первое, что бросается нам в глаза при рассмотрении

мира в целом – это взаимная связь всего существующего» (см.

Ленин В.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).

Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных

зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в

окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в виде формул.

Это, например, второй закон Ньютона [pic], закон Гука [pic], законы Кеплера

и многие другие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.

Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие,

непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.

Заключение

Таким образом, проблемы реальности и существования в математике имеют

неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношении понятий и

утверждений математики и окружающей действительности был освещен с разных

философских позиций. А именно, с точки зрения материализма и субъективного

и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое из

вышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешение

поставленного вопроса.

Проблема существования в математике также была представлена несколькими

философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивным материализмом и

субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело свою точку зрения

на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленных

проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и

разрешении.

В качестве примера одного из математических абстракций было рассмотрено

понятие “функция”. Описана история возникновения данного понятия,

неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.

Литература

1. Беркли Дж. Сочинения. - М.: Мысль, 1978.

2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Наука, 1963.

3. Вейль Г. О философии математики. - М. - Л., 1934.

4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. - М.: Просвещение, 1985.

5. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. - М., 1936.

6. Гейтинг А. Интуиционизм. - М.,1965.

7. Декарт Р. Избранные произведения. - М.: Госполитиздат, 1950.

8. Колмогоров А. Н. Современные споры о природе математики // Науч. слово.

- 1929. - №6.

9. Ленин В.И. Философские тетради. - Полн. собр. соч. - Т. 29.

10. Лобачевский Н. И. Полн. собр. соч. - Т. 5. - М. - Л., 1951.

11. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. - Т. 3.

12. Математика в современном мире. - М.: Мысль, 1967.

13. Математический энциклопедический словарь./ Под ред. Ю.В.Прохорова. М.:

Советская энциклопедия, 1988.

14. Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. - М., 1914.

15. Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. - М.:

Просвещение, 1969.

16. Нысанбаев А., Шляхин Г. Развитие познания и математика. - Алма-Ата:

Казахстан, 1971.

17. Ойзерман Т.И. Проблемы историко-философской науки. - М.: Мысль, 1982.

18. Пуанкаре А. Наука и метод. - С.-Пб., 1910.

19. Рассел В. История западной философии. - М.: Изд. иностр. лит., 1959.

20. Труды математического института им. В. А. Стеклова. Т. 67. - М., 1962.

21. Эйлер Л. Исследования по баллистике. - М.: Физматгиз, 1961.

Страницы: 1, 2, 3