менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философию математики,

которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния

естественных наук.

2 Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно

малых

За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике

не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические

истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций.

Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки

пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. Только в

XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческого математического

мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия

ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей,

которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению.

Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенности механики и

это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии

математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное

знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре

от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка проепределила в

свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в

сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основным понятием теории математика и философа Лейбница было понятие

дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем

функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторую величину h,

то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0,

но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любое конечное

число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении

Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею

неархимедовой величины.

Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их

с представлениями о математической строгости, бало очевидным для

большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все

новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и

наиболее продуктивную часть математического знания. Проблема обоснования

дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в

некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире

неспециалистов.

Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется,

можно полностью описать в системе «теория-приложение», те есть как

диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления

площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию

алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым

задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более

строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как

логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная

система.

3 Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в.

Философские дискуссии в математике XIX в. Были связаны в основном с

развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В

области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но

они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были

устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о

природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро

чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно

малых.

11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский

представил ученому совету физико-математического факультета доклад с

изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома

Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой

геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую

геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой

геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В

последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии

и указал ряд ее приложений в области математического анализа.

Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их

построение и доказательство непротиворечивости представляет собой

окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в

течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению

неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только

крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом,

противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе

математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к

коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в

системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий.

Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики

выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.

В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два

направления: эмпиризм и априоризм.

Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с

природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время

как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как

они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное

положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение

арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты

арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел)

рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем

опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно

связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой

половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном

пространстве.

Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику

в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в

дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в.

выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии

и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали

пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но

представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего

человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания –

пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние

представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего

эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в

понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же

отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические

суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но

вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми

являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности,

хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как

система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм

чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть

полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства

«постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного

синтеза»

В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму.

Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В

методологических тербованиях к математике рационалисты практически

сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических

аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от

имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством

чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от

требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических

движений в пространстве.

Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально

противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем

определенное единство в методологических требованиях: от математических

истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной

наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того

или иного рода.

Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя

открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются

вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой

изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с

другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий,

чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к

таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести

только три события, а именно появления самой идеи математики как

дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие

дифференциального исчисления.

4 Математика в XX в.

Факты, требующие перестройки представления о сущности математики как

науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такими фактами могут

Страницы: 1, 2, 3